高阶等比数列和的证明

1、定义——

（1）S_k(n，x)=1+2^kx+3^kx²+……+n^kx^n-1.

（2）C(A，B)=A!/[B!(A-B)!]（组合公式）.

2、高阶等比数列和的证明：

（1）公式——

(1-x)S₀(n，x)=1-xⁿ.

(1-x)S_k(n，x)=∑^k_i=1(-1)^i-1C(k，i)S_k-i(n，x)-n^kxⁿ. （k为正整数）

（2）证明——

①   S_k(n，x)=∑ⁿ_j=1(j^kx^j-1)、  x*S_k(n，x)=∑ⁿ_j=1(j^kx^j). （k为正整数）

②  相减得 (1-x)S_k(n，x)=∑ⁿ_j=1[j^k-(j-1)^k)]x^j-1-n^kxⁿ=∑^k_i=1(-1)^i-1C(k，i)S_k-i(n，x)-n^kxⁿ.

3、将x=1代入上面公式中，再将k换成(k+1)、i换成(i+1)，即得“高阶等差数列和”的公式，S_k(n，1)=S_k(n)：

∑^k_i=0(-1)ⁱC(k+1，i+1)S_k-i(n)=n^k+1.