相似三角形的一组变式

下面的一组图形变式选自之前曾经上过的一节《相似的复习》：

例、如图，在△ABC中，N、M分别为AB、AC上的点，且满足AM·AC=AN·AB，连接BM、CN交于点O，连接MN，试探究图中有哪些三角形相似？

分析：由等积式改比例式可得两种结果①AM/AB=AN/AC，再加上夹角∠A，可得△AMN∽△ABC；②AM/AN=AB/AC，再加上夹角∠A，可得△AMB∽△ANC。由这两组相似为基础我们又可以得到△BON∽△COM，进而△OMN∽△OCB。

变式1、如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，连接BM、CN交于点O，连接MN，试探究图中有哪些三角形相似？

分析：此题与上题的区别在于条件的强化，由简单的线段的乘积关系，变为更为特殊的垂直的位置关系，相似的结论也就更多：△AMB∽△ANC∽△OBN∽△OCM（两两相似6组），△AMN∽△ABC，△OMN∽△OCB

变式2、如图，在△ABC中，∠ A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N

（1）求证：2MN=BC

（2）若点P为BC边中点，连接PM、PN，求证：△PMN为等边三角形

分析：此题在变式1的基础上，对∠A进行了更为化的处理，事实上，在这个基本图形中△AMN∽△ABC，其相似比就等于AM/AB，或AN/AC，由于是直角三角形，也就等于cosA，这个结论在本周复习题里有运用，第一问也就迎刃而解。第二问用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即得。

变式3、如图，在△ABC中，BC为圆P的直径，AB、AC分别与圆P交于点N和点M，连接BM、CN交于点O，连接MN，求证：

（1） AM·AC=AN·AB

（2） OM·OB=ON·OC

分析：这个变式就凸显了变式1的本质属性，事实上，在BM⊥AC、CN⊥AB的情况下，点M、N、B、C的位置有其特殊性，都在以BC中点为圆心，BC为直径的圆上。这样与圆结合起来，很多圆的定理就可以直接使用了，例如证△AMN∽△ABC，就不用先证线段的比，直接由圆内接四边形性质定理就可以找相等的角，得到相似，第一问得证。第二问就是相交弦定理，三个字形容——太简单！