圆内接正三角形相关的变式题选讲

例.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60°，AB与PC交于Q点．

（1）△ABC是________三角形.

（2）图中的相似三角形有_____________________________________..

分析：此图中由圆周角定理的推论得∠APC =∠ABC=60°，∠BPC =∠BAC = 60°，故而易证△ABC是等边三角形。至于相似的三角形学生最容易找到的是相交弦定理的两组相似，即△APQ∽△CBQ，△PQB∽AQC，事实上还有△CBQ∽△CPB，△AQC∽△PAC，这里要充分利用相等的60°的角。故而相似的三角形共六组△APQ∽△CBQ∽△CPB，△PQB∽AQC∽△PAC。

变式1：（2014襄阳市中考题）

如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．

求证：(1)△ADP∽△BDA；

（2）探究PA、PC、PB之间的关系。

（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．

分析：本题在2014年襄阳市中考中得分率不高，每一问都有考生要迈过的坎儿。第一问学生要解决就必须熟悉弦切角定理，这是教材中删减的部分，但频繁出现在考试中，在平时的讲授中老师已做补充，熟悉的同学自是不难；第二问问题出在思维定式上，九年级学习相似之后，多数线段关系都是乘积关系，而本题考的却是和差关系，学生一旦陷入乘积关系的固有思路找相似就难以求解，时间也耽误了，本题关系应为PC=PA+PB，要利用好60°角构造等边三角形和全等；第三问求解BC，即是求等边三角形ABC的边长，给的长度是AD和PD，如果熟悉切割线定理（和弦切角定理一样，教材已做删减处理，平时教学老师们会做补充）就容易求出DB的长，求BC转换为求AB，此处注意利用好∠DAB=60°（弦切角），过点D作AB的垂线段即可分而求之。其中考生最容易犯的错误是想当然地认为AD⊥BD，事实上不然，如若垂直，∠DPA的正切值就等于2，事实上∠DPA=60°，正切值不为2，矛盾。故而同学们做题时切忌相当让。

变式2：

分析：还是这个图，问题增加了，但是每一问却都很基础。第一问就是相交弦定理（和弦切角定理一样，课本做了删减，但要求同学们会证）；第二问就利用我们之前例题中得到的相似△CAQ∽△CPA，可得CA²=CQ·CP，即得；第三问如果不以圆为背景，剖离出来估计眼尖的同学就会一眼看出，这就是角平分线定理（左比右等于左比右，不懂的肯定是上课没听讲的

）；第四问等边三角形面积告知了就相当于告知了边长，题目所给的15°用好，尤其是60°的存在，易得∠PCB=45°，过B作PC的垂线段，易得结果；第五问很容易猜想出P位于弧AB中点时AD与圆相切，证明很常规，连半径证垂直即可。

以上的题目都源于一个基本图形，同学们的几何学习一定要善于总结模型、基本图形，熟练掌握基本定理及其证明。思维的卡壳很多时候在于你的总结不够，思考不深入。