【几何模型】费马点问题全面分析、处理和归纳，建议收藏！

本文为“初中几何典型解题模型”新增内容！

初中几何典型解题模型

——《初中数学典型题思路分析》附赠之一 

目 录

第一章 8字模型与飞标模型

【模型2：角的飞镖模型】

【模型3：边的8字模型】

【模型4：边的飞镖模型】

第二章 角平分线四大模型

【模型1：角平分线上的点向两边做垂线】

【模型2：截取构造对称全等】

【模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形】

【模型4：角平分线+平行线构等腰三角形】

第三章 截长补短模型

【模型：截长补短模型】

第四章 手拉手模型

【模型：手拉手模型】

第五章 三垂直全等模型

【模型：三垂直全等模型】

第六章 将军饮马模型

【模型1：定直线与两定点】

【模型2：角与定点】

【模型3：两定点一定长】

第七章 蚂蚁行程模型

【模型：蚂蚁行程模型】

第八章 中点四大模型

【模型1：倍长中线构造全等三角形】

【模型2：等腰三角形“三线合一”】

【模型3：三角形一边中点考虑中位线定理】

【模型4：直角三角形斜边中点构造斜边中线】

第九章 半角模型

【模型：半角模型】

第十章 相似模型

【模型1：A、8模型】

【模型2：共边共角型】

【模型3：一线三等模型】

【模型4：倒数型】

【模型5：与圆有关的简单相似】

【模型6：相似与旋转】

第十一章 圆中的辅助线

【模型1：连半径构造等腰三角形】

【模型2：构造直角三角形】

【模型3：与圆的切线有关的辅助线】

第十二章 辅助圆

【模型1：共端点、等线段模型】

【模型2：直角三角形共斜边模型】

附1：巩固练习解析

附2：新增：最值模型汇总

注：题目为PDF文件截图引起失色，源文件打印效果清晰！

费马点问题分析、处理和归纳

费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一.费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：对于一个各角不超过的三角形，费马点是对各边的张角都是的点；对于有一个角超过的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，当PA+PB+PC的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数。

【问题分析】关于求几何最值问题，我们一般可以借助以下两个公理来处理：

（1）定点到定点：两点之间线段最短；

（2）定点到直线：垂线段最短。

因此，我们要想办法把PA、PB、PC这三条分散的线段转化为连续的折线，然后借助两点之间线段最短找到符合条件的点P。在解决几何最值问题过程中，我们常借助对称变换、平移变换和旋转变换，本题牵涉三条线段，因此我们可以考虑旋转变换。

【问题处理】下面简单说明如何找点，使它到三个顶点的距离之和最小？这就是所谓的费马点问题.

因此，当的每一个内角都小于时，所求的点对三角形每边的张角都是，可按照如上的办法找到点；当有一内角大于或等于时，所求的点就是钝角的顶点.

费马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离之和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.

【问题归纳】符合条件的点P,我们把它叫做费马点。 所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题：“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让朋友思考,并自称已经证明了。这是费马通信的一贯作风。人们称这个点为“费马点”。还有像著名的费马大定理（当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。）也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。直到离开也没告诉人家这个所谓证明，结果困扰世界数学界三百多年。费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．

【综合应用】

中考真题1：

【答案解析】

中考真题2：

【答案解析】