【中考压轴】二次函数最值、路径、存在性问题
WINTER
《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。
今日研题
【题目】如图1，已知抛物线y=-x2+3/2x+1与x轴交于A和B两点，(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)点C的坐标是_______,点B的坐标是_______;
(2)M为线段BC上方抛物线上一动点，连接MC、MB，求△MBC面积的最大值，并求出此时M的坐标；
(3)如图2，T为线段CB上一动点，将△OCT沿OT翻折得到△OC'T，当△OC'T与△OBC的重叠部分为直角三角形时，求BT的长;
(4)如图3，动点P从点O出发沿x轴向B运动，过点P作CP的垂线交CB于D.点P从O运动到B的过程中，点D运动所经过的路径总长等于______：
分析与解
PART-1
第（1）入口宽，直接送分，求抛物线与x轴的交点坐标，可令y=0，则-x2+3/2x+1=0,解之得x1=2，x2=-1/2，故A(-1/2,0)，B(2,0)
C是抛物线于y轴交点，令x=0，则y=1，所以C(0,1).
PART-2
法一：宽高公式
过M作y轴平行线，角BC于点N
由C(0,1)，B(2,0)，可求直线BC的解析式为：y=-1/2x+1，设点M(x, -x2+3/2x+1)，则点N(x, -1/2x+1)，于是MN=-x2+3/2x+1-(-1/2x+1)=-x2+2x，S△BMC=1/2×2(-x2+2x)
=-x2+2x=-(x-1)2+1，所以：当x=1时，△BMC面积最大为1，此时M(1,3/2).
法二：割补法
连接OM，S△CMB=S△COM+S△MOB-S△COB
法三：相切法
过M作AB的平行线EF，当EF与抛物线只有一个公共点时，△CBM的面积最大。
PART-3
设OC'与BC交于点H，过T作TM⊥OC.
∠OHT=90°，易求OH=OM=2√5/5，而OC=1，所以CM=1-2√5/5，由三角比可求
CT=√5-2，则BT=√5-(√5-2)=2.
当∠OTH=90°时
此时点H在BC上，此时BT=4√5/5。
设TC'与OB交于点G，∠OGT=90°，如下图可求得BT=√5-1.
确定点C'的运动轨迹如下图
①当C’在绿色弧上时，OC'与BC相交，当OC'⊥BC时，重叠部分为直角三角形.
②C'落在BC上时，重叠部分为直角三角形；
③当C'落在红色弧上时，不存在直角三角形；
④当C'落在蓝色弧上时，TC'与BC相交，当TC'⊥BC时，重叠部分为直角三角形.
PART-4
当P点从O出发时，点D与点B重合，点P=开始运动时，点D沿BC方向运动，求D的运动路径长，需求出BD的最大值，BD取最大值时，CD就最小，以CD为直径的圆E，与OB相切时，此时CD取最小值。如下图，
设EP=r，根据△BEP与△BCO相似有：
由于点P是从O运动至B，故D的路径是往返型路径，则D的运动路径长为3√5-5。