角平分线扯出来的三角形相似

题目：△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且DG⊥EF，求证：DG平分∠BGC；

这道题确实比较难，难点主要在于同学们是否能够想到利用相似三角形，以及如何构造相似三角形。

我们先看图形，要使DG是角平分线，∠BGD=∠DGC，同时DG⊥EF，

则∠BGF=∠CGE成立才行，

那么这两个角如何相等呢？

其实很明显能看到左右两个三角形比较相似，所以会不会是△BFG∽△CEG？

但是条件却只有∠BFG=∠CEG，不要问这个怎么得到的，学过切线的同学都知道。

那么要证明另外两组角中的一组相等，肯定不可能由两个角相等来证明相似了，那么就只有相等角的两个邻边成比例。

FG和GE、BF和CE如何能成比例呢？

肯定需要借助其他相似三角形来转换。

FG和GE被一条垂线分开，那么它俩就可以在两个直角三角形中，我们连接DE、DF，

如上图，我们连接DE和DF后，GF和GE在两个直角三角形中，那么让他们和谁相似呢？肯定还要和直角三角形相似才行。

但是哪来的直角三角形呢？

我们先看∠DFG和∠DEG，它们和哪个角可以相等呢？

很明显，弦切角········

∠DEG=∠BDF，∠DFG=∠CDE，

但是这两个角不在直角三角形中，所以只要能让它们在直角三角形中，就可以得到三角形相似，

那么最直接的就是作垂线了，

如上图，我们只要作BM⊥DF，CN⊥DE就行了，而且还是垂直平分线呢！

这样一来，△DGE∽△BMF，所以DE：BF=GE：FM=GE：0.5DF，即0.5DE·DF=GE·BF，

同时△DGF∽CNE，所以DF：CE=FG：EN=FG：0.5DE，即0.5DE·DF=FG·CE，

∴GE·BF=FG·CE，

∴GE：FG=CE：BF，同时∠BFG=∠CEG，

∴△BFG∽△CEG，

∴∠BGF=∠CGE，

又因为∠DGF=∠DGE=90°，

∴∠BGD=∠DGC，

所以DG平分∠BGC。

如果不能想到构造直角三角形相似来转换线段比例，那么就不能快速得到GF和GE、BF和CE的比例。当然如果大家有其他更好的方法，也可以在留言区中给出，方便其他同学参考学习。