初中数学竞赛：一元二次方程的整数根

（全国联赛试题）已知关于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根，则有理数r的值是多少？

首先根据题目条件，方程有根，则判别式大于等于0，

所以△=（r+2）²-4r(r-1)=-3r²+8r+4≥0，

接下来就要根据根为整数来判断参数r了，

x1+x2=-（r+2）/r=-1-2/r，

x1·x2=（r-1）/r=1-1/r，

x1和x2都为整数，

一般这类题目都需要转化出两个数相乘等于一个整数的形式，如此就可以判定两个乘数的可能情况，

那么我们要想办法将r抵消掉，

所以将x1·x2可以乘以2倍，即2x1·x2=2-2/r，

那么x1+x2=-1-2/r，

两个式子相减得到2x1·x2-（x1+x2）=3，

等号左边如何变为相乘呢？

两边同时乘2，得4x1·x2-2（x1+x2）=6，

再同时加1，得4x1·x2-2（x1+x2）+1=7，

即2x1·2x2-2(x1+x2)+1=7，

十字相乘法因式分解，

得（2x1-1）（2x2-1）=7，

两个整数相乘得7，那么两个式子要么是1和7，要么是-1和-7，

当为1和7时，两根分别为1和4，r=-1/3，

当为-1和-7时，两根分别为0和-3，r=1，

那么这样是不是就完整了呢？

不知道同学们是否考虑到了方程为一次方程时的情况，毕竟题上没有说方程时一次还是二次，

所以当方程为一次方程时，r=0，此时x不是整数，所以不合适，那么这种情况排除；

所以最终就可以确定r的值为-1/3或1；