函数导数压轴干货之1：与极值点有关的多元最值问题处理策略探究

 与极值点有关的多元最值问题处理策略探究

廖邦亮  广东河源中学

本文研究与极值点有关的多元最值问题或不等式证明问题的解题策略,其题型特征为x1,x2是含有参数a的函数f(x)的两个极值点,求涉及x1,x2和a这三个参变量的表达式的最值或证明不等式.

解决多元最值问题的基本想法是消元成一元变量问题,然后构造函数求导来研究单调性得到解答.消元过程中需要用到三个变量之间的关系.x1或x2与a的关系可以由方程f'(x1)=0或f'(x2)=0得到,有的题目可以由韦达定理得到x1+x2和x1x2的值.

【命题意图】本题考查运用导数研究函数双变量不等式问题；考查学生运用所学知识寻找合理的解题策略以及问题转化能力和推理论证能力；考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.

【解题思路】这类问题首先要根据具体函数解析式将待求式子或待证式子展开整理,然后观察x1,x2和a这三个参数在式子中的分布情况,结合已知条件思考最终要保留哪个参数.如果一个参数所在的结构相对复杂,就可以考虑将其保留.

【命题意图】本题考查运用导数研究函数双变量不等式问题；考查学生运用所学知识寻找合理的解题策略以及问题转化能力和推理论证能力；考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.

【解题思路】分离参数是求解恒成立问题的常用手法.本题关于x1,x2对称的,利用韦达定理整体消元化简.

【命题意图】本题考查运用导数研究函数双变量最问题；考查学生运用所学知识寻找合理的解题策略以及问题转化能力和推理论证能力；考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.

【命题意图】本题考查运用导数证明函数双变量不等式问题；考查学生运用所学知识寻找合理的解题策略以及问题转化能力和推理论证能力；考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.

【解题思路】导函数的零点存在但不可求时,常虚设零点,利用零点存在定理估计所设零点所在的一个小范围,然后将所设零点当作一个常数代入化简,如本题.如果可以,尽量将对数结构和指数结构转化为较为简单的分式结构或整式结构.

【总结】这类问题的解决思路清晰，方向明确，需要重视解题当中可能出现的难点：最终要转化为哪个变量的函数？多元变一元以后，自变量的取值范围怎么求？构造函数以后，如果导函数零点不可求怎么办？

作者简介：廖邦亮，男，中学一级教师，湖南师范大学计算数学研究生，现就职于广东河源市河源中学，任教高中数学。