八下第3讲 中位线知识突破&平四全章复习
转眼，已经线上开学3周，在前2讲中，我们对本章的重点内容作了归纳，剩下的知识点仅剩一个中位线，就以本讲作为本章的收尾，更多的难题，留至期中复习吧．
一、知识梳理
二、典例剖析
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例1： 如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若△APD面积为15，△BQC面积为25，则阴影部分的面积为________． 分析： 本题主要考查一个重要的知识点，平行线间距离处处相等，即同底等高的三角形面积相等，而四边形的面积通常采用割补法，这里选择连接EF，分割成两个小三角形． 解答： |
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例2： 如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，点M是BC的中点．若AD＝10，BD＝12，AM＝9．则平行四边形ABCD的面积是______． 分析： 本题若学过相似，非常简单，找出其中的x形相似，可发现两个三角形均为直角三角形，且面积可求，整个平行四边形面积也可求．但如用现有知识，要添加辅助线． 解答： |
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例3： 如图，△ABC的周长为19，点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为_______． 分析： 首先可证△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，同理可得CA＝CD，则用BE＋CD－BC即可求出DE，再根据三角形中位线性质计算出MN即可． 解答： |
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例4： 如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝_______． 分析： 根据M、N分别是DC、DF的中点，马上想到MN可以作为中位线，连接CF，则其为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF的长，即可求出MN的长． 解答： |
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例5： 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． (1)求证：四边形AECD是菱形； (2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长． 分析： (1)首先可判定四边形AECD为平行四边形，利用两组对边分别平行，再用一组邻边相等判定其为菱形． (2)易得△ABE和△ACE，△ACD面积都相等，则菱形AECD面积等于△ABC的面积，求出AE的长，可知CD的长，则CD与EF的乘积即为菱形面积． 解答： |
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例6： 如图，正方形ABCD中，点E为AB上一动点(不与A、B重合)．将△EBC沿CE翻折至△EFC，延长EF交边AD于点G． (1)连结AF，若 AF∥CE，证明：点E为AB的中点； (2)证明：GF＝GD； (3)若AD＝10，设EB＝x，GD＝y，求y与x的函数关系式． 分析： (1)由翻折的性质可知，∠BEC＝∠FEC，EB＝EF，由AF∥CE可证得∠EAF＝∠BEC，∠EFA＝∠FEC，从而得到EA＝EF，结论得证； (2)连接CG，用HL证明Rt△GFC≌Rt△GDC即可． (3)两次全等后，可证得GD＋BE＝GE，则在△AGE中，借助勾股定理建立方程，问题得解． 解答： |
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例7： 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片使B点落在边AD上的E处， 折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． (1)求证：四边形BFEP为菱形； (2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动； ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离． 分析： (1)由折叠知，PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论； (2)①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称知，出CE＝BC＝5，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4，得出AE＝AD－DE＝1，在Rt△APE中，由勾股定理建立方程，求出EP． ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近； 当点P与点A重合时，点E离点A最远，计算两种情况下的AE长，相减即可得出答案． 解答： |
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