【八下数学】期中专题---旋转，最值，动点，存在性难题！

写在前面

下下周就是期中考试了，本讲，我们对八下中四边形的重点再作一次剖析，主要涉及旋转，动点，存在性问题。

例1：

分析：

观察到M，M'为斜边中点，马上想到连接点C，构造斜边中线．且CM＝CM'，再证明CM⊥CM'，问题得解．

解答：

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例2：

分析：

我们连接AD，可知AD为定值，则在△AED中，AE≥DE－DA，当E、A、D三点共线时，AE最短！此时求出AD，在Rt△AGD中利用勾股定理即可求AG的值．

解答：

例3：

分析：

这是一道网红题，被称作为“瓜豆原理”，常规思路是找到点G的轨迹，再求CG最小值．

点E是定点，点F是主动点，点G是从动点．点G可由点F绕定点E顺时针旋转60°而来，根据“瓜豆原理”，点G的轨迹可由点F的轨迹(即线段AB)绕定点E顾时针旋转60°而来，故点G的轨迹仍是一条线段，即将线段AB绕定点E顺时针旋转60°所得到的线段．如图1，将点B绕定点E顺时针旋转60°得到点M，将点A绕定点E顺时针旋转60°得到点N，连接MN，则点G在线段MN上运动．属于旋转直线型轨迹．易证△BEF≌△MEG(SAS)，则∠EMG＝∠EBF＝90°，当CG⊥MN时，CG取得最小值，

但初二怎么解呢？其实也可，此题真正的“题眼”在等边三角形，看到等边三角形有等线段，共顶点，要想到再构造个等边三角形，形成旋转手拉手模型，以EC为边向上构造一个等边△ECH，可证△ECG≌△EHF，得到CG＝HF，本题要求CG最小，即求HF最小，点H为定点，点F在AB上运动，显然，当HF⊥AB时，HF最小．

解答：

例4：

分析：

显然，我们应该分情况讨论，搞清楚什么时间段，点Q是从C向B运动，什么时间段点Q是从B向C运动．从而用含t的代数式表示出PD和QB的长，保证PD＝QB，建立含t的方程求解即可，注意算出的解在相应的范围内，才符合题意．

解答：

例5：

分析：

(1)要证明AE＝DF，只要用含t的代数式表示AE，DF的值即可．利用30°的特殊角，可知DF为DC的一半．

(2)首先，证明四边形AEFD为平行四边形，再利用邻边相等，即AE＝AD，可证其为菱形，则建立含t的方程即可．

(3)分类讨论，当∠EDF为直角，则可证四边形EBFD为矩形．

当∠DEF为直角，则∠ADE也为直角，在△AED中，再用30°的特殊角．

当∠DFE为直角，发现其度数应始终与∠A相同，故排除这种情况．

解答：

例6：

分析：

第(1)问，要证明其为平行四边形，要把必要的边的长度求出，根据直线解析式，可求出A、C坐标，从而求出AD，BC的长，再根据BC的纵坐标相同，可知BC∥AD，得证．

第(2)问，我们应该以OD、OA1、OB1分别为对角线来考虑，一目了然，注意到△A1OB1为直角三角形，则多用等积法来求A1的纵坐标．

解答：

例7：

分析：

(1)先求出D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式，再求出点F的坐标，即可得出FC，可求得△BCF的面积；

(2)以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，则△MFD必为直角三角形，分∠MFD＝90°、∠MDF＝90°和∠FMD＝90°三种情况，分别求得M点的坐标，这里为了避开相似，我用了勾股定理，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．

解答：
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