好题解析：利用等面积法求三角形内心到边的距离

先来看下题目：

题目分析：

这是一道以三角形为背景，涉及到三角形的内心，求垂线段长度的题目。

先来分析下条件：

• I为三角形的内心，内心是什么呢？

  内心是三角形内切圆的圆心，也就是三角形三条角平分线的交点。

• 分析到角平分线，我们就比较熟悉了，角平分线一般考什么呢？肯定是角平分线的性质，即，角平分线上的点到角两边的距离相等。
• 作为三角形的内心，也就是三条角平分线的交点，那么它到三角形三边的距离都是相等的。求I到BC边的距离，只需要求出I到三角形ABC任意一条边的距离即可。

那么怎么求呢？

需要几何题中的已知条件来分析。求一点到一边的距离，也就是求点到线的垂线段的长度。

求垂线段，有些什么方法呢？

勾股定理或者等面积法，勾股定理我们比较熟悉，但等面积法也是很常用的求垂线段的方法。

在三角形中，高线也是一条垂线段，高与面积有密不可分的关系，因此在求高线中要有这种意识。

什么是等面积法呢？

简单的说就是把同一个三角形的面积用不同的方法来表示，也就是不同的高和底，通常是直接算一次，再分成几个小三角形，在算一次，最后根据面积相等，列出方程，即可求出垂线段的长度或垂线段长度之和。

这道题目该如何运用等面积法呢？

• 由已知可得△ADE是一个等腰三角形，且三条边的长度均已知，则可过顶点向底边做垂线，利用三线合一性质和勾股定理即可求出底边上的高，代入面积公式即可求出面积。
• 题目要求的是点I到BC边的距离，也等于点I到AB和AC边的距离，那么连接AI，并过点I向AB和AC边做垂线，垂线段长度相等，也可以看成是AD和AE边上的高，有了高，也就能表示出三角形ADI和三角形AEI的面积，这两个三角形的面积加起来刚好等于三角形ADE的面积。

最后利用面积相等，列出方程即可。

解答过程如下：

06:08

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03:30 / 03:30

来总结一下，这道题目考查到：

• 三角形的内心
• 角平分线的性质
• 等腰三角形的性质
• 三角形的面积
• 等面积法

• 转化思路

• 拆分和替换思路

解题的前提是理解和掌握三角形内心的含义及其性质，解题的关键是利用等面积法列出关系式。