数学解题思路：怎样才能想到？

网络是个好东西，不管身在天南地北，只要志同道同就能聚在一起。不知不觉中，我已经加入了上百个与教学有关的群组，和很多志趣相投的同行在一起学习交流。

群里探讨解题时，不少老师问：怎样才能让学生想到这样的解题方法？

知识可以分三类：陈述性知识、程序性知识、条件性知识。

陈述性知识是结论和事实，解决“是什么”的问题。

程序性知识是方法和流程，解决“怎么做”的问题。

条件性知识是知道在何情境下选择应用何种知识，解决“怎么知道怎么做”的问题。

条件性知识与元认知密切相关，是一种复杂的心理过程。这方面研究不多，但很重要，因为它决定所学的知识是死的，还是活的。没有条件性知识，所掌握的知识就不能被有效应用，变成废料。

老师在教学中不仅要教陈述性知识和程序性知识，还要教给学生条件性知识，否则就会出现“教懂了却不会用”的现象。

有的老师像魔术师，“大变活人”之类的漂亮魔术看上去很神奇，但是观众永远学不会。

老师要做的不是“魔术表演”，而应该是“魔术揭密”和“魔术训练”。这样，人人都是魔术师，魔术不再神奇，而是人人可掌握的技术。

不管是知识教学还是解题教学，老师都要教“学习方法”和“思考方式”，让学生“会学习”、“会思考”，这样才能“会恰当地选择运用知识和方法解决问题”，也就是掌握条件性知识。

比如教学“平行线的性质”时，要让学生了解和体验到“在需要把角进行等量转化时可以运用平行线的性质定理和构造平行线的方法”，这就是条件性知识，掌握这一点，在以后证明三角形内角和定理时，便不难想到要构造平行线。

解题教学更是如此，当一条辅助线毫无征兆地从天而降时，指望学生把这种方法迁移到其它情境中几乎是不可能的。

因为老师的脑中储存了太多的关于题目及其方法的记忆，老师的解题动作成了条件反射，但是在学生眼中，它是没来由的孤立事件，是难以理解的天外来客。

实际上，即使是老师，往往也没能厘清如何思考问题的来龙去脉，如何在陌生情境下自然顺畅地得到解题思路，老师之所以会解题方法有时也是记忆的结果，这就需要解完题后进行再反思，找到题目与解法之间的逻辑联系。

有时候，经验丰富的解题者可以瞬间发现解题的思路与方法，自己也搞不清楚到底是大量做题留下的直觉反应还是掌握了解题的内在逻辑。

对于人文学科，往往依赖灵感和直觉，可以“本章本天成，妙手偶得之”，但对于数理学科来说，依靠灵感和直觉就不行了，要更多地依赖逻辑和推理，因为逻辑是可表达、可重复、准确严谨的，具有最广泛的可迁移性。数学可以根据公式和定理进行计算推理，没听说过写诗作曲有什么公式和定理，但现实中就有把理科当文科教或把文科当理科教，造成了教学的低效、无效甚至负效应。

解题教学是数学教育的重要组成部分，解题就是人的思维对题目的条件信息与所学的知识方法进行联系、加工、处理，从而得到所求结论或推理过程。条件信息在题目中，知识方法在头脑中，题目所呈现的条件信息是多种多样的，但所用知识方法始终在一定范围内，所以解题时要做的一件重要事情是：对信息进行辨别、判断、转化，使之与对应的知识与方法产生联结。这也就是我们所总结的思维方法与解题策略，实质就是条件性知识，它可以告诉学生在什么样的情境下选择什么样的知识与方法解决问题，下面以一道中考题为例探讨一下解题教学中关于条件性知识的提炼及训练。

例题（2018乐山卷）.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：

(1)如图1，若k=1，则∠APE的度数为__________；

分析：

①条件出发：“AC=kBD，CD=kAE”转化为：AC:BD=CD:AE=k。

②观察联想：由比例线段想到寻找或构造相似形（k=1时全等），AC与CD组合成ΔACD，但BD与AE不在同一个三角形中。

③猜测推理：由AC与BD夹角为90度，CD与AE夹角为90度，两组对应边夹角都为90度，推知两个全等三角形是旋转90度的位置关系。

④完形构造：将ΔACD旋转90度并平移至适当位置，构造全等三角形，如下图所示：

上面四种构造所达到的效果是相同的，都出现了一对全等三角形、一个等腰直角三角形和一个平行四边形，四种方法的内在逻辑是一致的，即通过运动变换把分散的条件集中，形成关系明确的特殊图形，从而进一步推理计算使问题得以解决。这里涉及的陈述性知识是全等三角形的判定定理、平行四边形的判定和性质，程序性知识是对图形的旋转、平移操作，仅此并不足以解决问题，还要知道什么时候需要用旋转、平移的方式构造全等，即使用全等和变换的条件性知识：题中有边角相等关系，若只有一个确定三角形，则可把它进行运动变换得到另一个三角形；若相关线段分散不在同一三角形中，则应通过变换操作使其集中于同一三角形中。

上面的构造也可以看成：将线段AE平移至BD处组合成与ΔACD全等的三角形，如下图。

(2)如图2，若k=√3，试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．

分析：有了解决题(1)的方法，题(2)的思考逻辑和解题策略完全相同，仅把全等变为相似，变换方式为“旋转+缩放”，把ΔACD旋转90度并按1:√3缩放，再平移至合适位置如下图：

同样可以换个角度看，把AE平移至BD处组合成与ΔACD相似的三角形，得到一对1:√3的相似三角形、一个直角边为1:√3的RtΔADF和一个平行四边形AEBF，再得∠APE=∠DAF=30°。

(3)如图3，若k=√3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．

分析：表面形式变化，本质关系不变，解决方法一以贯之，用移花接木策略迁移前面的方法即可。

可以发现，本题更为一般的结论是：cot∠APE=k。

回顾这个问题的解决，包含了哪些条件性知识？

1.边角相等（比例）关系较多时用全等（相似）。

2.可以由相关线段和角回溯需证的全等（相似）三角形。

3.条件信息分散可用运动变换使之集中以产生特殊图形和关系。

4.外在形式变化，内在关系不变，则解题方法不变，所得结论相似。

这种条件性知识能够帮助解决一类相关问题，具有广泛的适用性和可迁移性，掌握这种知识才可以真正提升解决问题的能力。当然，这种知识不能由老师直接教授而获得，需要经历一个理解、感悟、验证、训练的过程，老师也要适时引导、点拨、揭示、强化，这样才能掌握条件性知识，做到在恰当的时机应用恰当的知识采取恰当的行动，也就是在“该想到”的时候“能想到”。