概率统计专题50： 澄清关系 - 独立性检验问题

概率统计专题50：澄清关系 - 独立性检验问题

(2020全国Ⅲ卷理) 某学生兴趣小组随机调查了某市

天中每天的空气质量和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):

(1)分别估计该市一天的空气质量等级为

的概率;

(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组数据用该区间的中点值代表);

(3)若某天的空气质量等级为

或

,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为

或

,则称这天“空气质量不好”。根据所给数据,完成下面的

列联表,并根据列联表,判断是否有

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

附:

,其中

.

解：(1)该市一天的空气质量等级为

的概率是

,

该市一天的空气质量等级为

的概率是

,

该市一天的空气质量等级为

的概率是

,

该市一天的空气质量等级为

的概率是

.

(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

人.

(3)

列联表如下所示:

的观测值

因为

,

所以有

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

基本定理

分类变量:不同“值”表示个体所属的不同类别的变量.

列联表:列出的两个分类变量的频数表.

反证法:在假设

下,如果推出一个矛盾,就证明了

不成立.

独立性检验:在假设

下,如果出现一个与

相矛盾的小概率事件,就推断

不成立,且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.

常考类型

独立性检验常和抽样、概率等知识进行综合.

解题步骤

独立性检验:

(1)观察

列联表数据,利用公式

(其中

),计算得到随机变量

的观测值

;

(2)根据实际问题需要的可信程度确定临界值

;

(3)如果

,就有

的把握认为“

与

有关系”,这种推断犯错误的概率不超过

;否则就说没有

的把握认为“

与

有关系”.

1.通过随机询问

名大学生是否爱好某项运动,得到如下的列表:

由上表算得

,因此得到的正确结论是( )

A.在犯错误的概率不超过

的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过

的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”

C.有

以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D.有

以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

2.(2020衡水模拟)今年,新型冠状病毒来势凶猛,老百姓一时间“谈毒色变”,近来,有关喝白酒可以预防病毒的说法一直在民间流传,更有人拿出“医”字的繁体字“醫”进行解读为:医治瘟疫要喝酒,为了调查喝白酒是否有助于预防病毒,我们调查了

人的喝酒生活习惯与最终是否得病进行了统计,表格如下:

规定:

①每周喝酒量达到

两的叫常喝酒人,反之叫不常喝酒人.

②每周喝酒量达到

两的叫有酒瘾的人.

(1)求

的值,从每周喝酒量达到

两的人中按照分层抽样选出

人,再从这

人中选出

人,求这

人中无有酒瘾的人的概率.

(2)请通过上述表格的统计数据,填完下面的

列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过

的前提下认为是否得病与是否常喝酒有关?

附:

,其中

。