圆锥曲线专题解析7:圆锥曲线中有关面积的最值、范围问题(附参考答案)

圆锥曲线中有关面积的最值、范围问题

Ø方法导读

最值问题是高考的热点也是难点,而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点,不仅会在选择题或填空题中进行考察,在解答题中也往往将其设计为试题考查的核心.解决这类难点问题应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数),会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、范围问题.

本专题在深刻的研究和分析近几年高考真题及各地模拟题的基础上,从该类问题中的某一考点入手,着重探讨圆锥曲线中有关面积的最值、范围问题,旨在探寻这类问题的解题方法,使得学生在解决这类繁琐复杂问题时也能从容面对.

Ø高考真题

【2016年全国新课标1卷理】设圆

的圆心为

,直线

过点

且与

轴不重合,

交圆

,

两点,过

的平行线交

于点

.

(1)证明

为定值,并写出点

的轨迹方程;

(2)设点

的轨迹为曲线

,直线

,

两点,过

且与

垂直的直线与圆

交于

,

两点,求四边形

面积的取值范围.

Ø解题策略

【过程分析】(1)根据题中所给关系证明

为等腰三角形,即可证明

为定值

,根据椭圆的定义求得点

的轨迹方程.

(2)分类讨论.根据直线

的斜率是否存在分类讨论.当斜率存在时,通过点斜式设出直线方程与椭圆联立,建立关于

的一元二次方程,然后利用根与系数的关系得到

关于斜率

的表达式,然后利用勾股定理可得到

关于

的表达式,从而可得到面积

关于

的表达式,然后通过研究

的函数的最值可得到四边形

面积的取值范围.再由斜率不存在的情况,可直接求出四边形

面积.进而可求得最后的答案.

【深入探究】

解决圆锥曲线中的定值、定点问题我们一般采取:(1)从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

圆锥曲线中的最值,范围问题是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

Ø解题过程

【解析】(1)因为

,

,故

,

所以

,故

.

又圆

的标准方程为

,从而

,所以

.

由题设得

,

,

,由椭圆定义可得点

的轨迹方程为:

.

(2)当

轴不垂直时,设

的方程为

,

,

.

.

,

.

所以

.

过点

且与

垂直的直线

,

到直线

的距离为

所以

.

故四边形

的面积

.

可得当

轴不垂直时,四边形

面积的取值范围为

.

轴垂直时,其方程为

,

,

,四边形

的面积为

.

综上,四边形

面积的取值范围为

.

Ø解题分析

(1)利用平面几何的性质,由

为定值,可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程.

(1)分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为

,利用根与系数的关系和弦长公式把面积表示为直线的斜率

的函数,再利用函数的性质即可求出最值.

Ø拓展推广

解题模板:在圆锥曲线中求面积的最值或者范围问题,通常可利用

(I)几何法:

(1)可根据圆锥曲线的定义,把所要求的最值问题转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离;

(2)利用两点间线段最短,或垂线段最短,或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件,进而求出最值;

(3)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;

(II)代数法:

对于此类求三角形或四边形的面积的的最值或者范围的问题,关键是选择一个适当的或者合理的面积公式转化成常见的函数(二次函数、反比例函数等).在这个过程中,我们通常依据三角形的面积公式(四边形通常分割成三角形)去建立目标函数.在这类题型中,我们常见的一些有关面积的表达式有以下几种:

.(底=弦长公式求解,高=点到直线的距离);

.(

);

③对角线互相垂直的四边形,面积=对角线长度乘积的一半;

④面积的比值可转化为线段长度的比值.

通常我们是通过研究所建立的目标函数的最值,来达到所要解决的面积的最值或者范围问题.在利用代数法解决最值或范围问题时常从以下几个方面考虑:

①利用判别式来建立不等关系,通过解不等式来求解范围或者最值问题;

②研究函数的最值,来求解;通常研究函数的最值方法有(1)若是常见的二次函数,则可利用配方法求解;

(2)可借助配凑、换元、然后利用基本不等式(或对勾函数)求解;

(3)利用导数求解,利用导数研究函数的单调性,从而达到求解目标函数的最值或者范围问题.

变式训练1

抛物线

的焦点为

,过点

的直线交抛物线于

两点.

(1)若

,求直线

的斜率;

(2)设点

在线段

上运动,原

关于点

的对称点为

,求四边形

面积的最小值.

变式训练2

已知椭圆

短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线

与圆

相切.

(1)求椭圆

的标准方程;

(2)已知过椭圆

的左顶点

的两条直线

分别交椭圆

两点, 且

,求证: 直线

过定点, 并求出定点坐标;

(3) 在(2) 的条件下,求

面积的最大值.

变式训练3

如图,过椭圆

上一点

轴作垂线,垂足为左焦点

,

分别为

的右顶点,上顶点,且

.

(1)求椭圆

的标准方程;

(2)过原点

做斜率为

的直线,交

两点,求四边形

面积

的最大值.

变式训练4

已知椭圆

的四个顶点组成的四边形的面积为

,且经过点

.

(1)求椭圆

的标准方程;

(2)若椭圆

的下顶点为

,如图所示,点

为直线

上的一个动点,过椭圆

的右焦点

的直线

垂直于

,且与

交于

两点,与

交于点

,四边形

的面积分别为

.求

的最大值.

变式训练5

已知椭圆

的离心率为

,且点

在椭圆

上.

(1)求椭圆

的标准方程;

(2)若直线

交椭圆

两点,线段

的中点为

为坐标原点,且

,求

面积的最大值.

答案

变式训练1

(1)

.

(2)

.

(1)依题

意知

,设直线

的方程为:

.

将直线

的方程与抛物线的方程联立,消去

.

,

,所以

,

.①

,得

.②,联立①和②,消去

,得

.

所以直线

的斜率是

.

(2)由点

与原点

关于点

对称,得

是线段

的中点,从而点

与点

到直线

的距离相等,所以四边形

的面积等于

,

所以当

时,四边形

的面积最小

,最小值是

.

变式训练2

(1)

.

(2)

.

(3)

(1)由题意

,

. 即

.

(1)由题意可知直线

的斜率存在且不为

.由(1)得:

. 设

,

,

同理得

①当

时,

,直线

的方程为:

,整理后可得:

,于是可知直线

过定点

.

时,

,

过定点

综上所得直线

过定点

.

(2)由(2)知直线

过定点

,于是有

,当

时取等号,

.

时取等号,此时

面积有最大值,

.

变式训练3

(1)

(2)

(1)由题意可得

.

,

,解得

,由

,得

,

故椭圆

的方程为

(2)由题意可设

,设

,

它们到直线

的距离分别为

,

代入

,得

,则

,且

,

,

当且仅当

时取等号,

时,四边形

的面积

取得最大值

.

变式训练4

(1)

(2)

(1)因为

在椭圆

上,所以

,

又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为

,所以

,

解得

,所以椭圆

的方程为

(2)由(1)可知

,设

,

则当

时,

的直线方程为:

,

,

直线

的方程为

,即

,

,得

,

,所以

,得

,所以

,

所以

,

时,直线

,

,

所以当

时,

变式训练5

(1)

(2)1

(1)由已知得:

,解得

.

椭圆

的标准方程为:

(2)设

轴的交点为

,

设直线

方程为

,

.

联立

,得

,

,

.

.

,

,得

.

,

,

,

当且仅当

,即

时取等号,此时

.

所以

面积的最大值为1.

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