圆锥曲线专题解析7:圆锥曲线中有关面积的最值、范围问题(附参考答案)
圆锥曲线中有关面积的最值、范围问题
Ø方法导读
最值问题是高考的热点也是难点,而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点,不仅会在选择题或填空题中进行考察,在解答题中也往往将其设计为试题考查的核心.解决这类难点问题应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数),会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、范围问题.
本专题在深刻的研究和分析近几年高考真题及各地模拟题的基础上,从该类问题中的某一考点入手,着重探讨圆锥曲线中有关面积的最值、范围问题,旨在探寻这类问题的解题方法,使得学生在解决这类繁琐复杂问题时也能从容面对.
Ø高考真题
【2016年全国新课标1卷理】设圆
![](http://pic.ikafan.com/imgp/L3Byb3h5L2h0dHBzL2ltYWdlMTA5LjM2MGRvYy5jbi9Eb3dubG9hZEltZy8yMDIxLzA3LzMxMTQvMjI3MzcyNTQ0XzFfMjAyMTA3MzEwMjE3MTA5NTY=.jpg)
的圆心为
![](http://pic.ikafan.com/imgp/L3Byb3h5L2h0dHBzL2ltYWdlMTA5LjM2MGRvYy5jbi9Eb3dubG9hZEltZy8yMDIxLzA3LzMxMTQvMjI3MzcyNTQ0XzJfMjAyMTA3MzEwMjE3MTExNzU=.jpg)
,直线
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过点
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且与
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轴不重合,
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交圆
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于
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,
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两点,过
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作
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的平行线交
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于点
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.
(1)证明
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为定值,并写出点
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的轨迹方程;
(2)设点
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的轨迹为曲线
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,直线
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交
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于
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,
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两点,过
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且与
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垂直的直线与圆
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交于
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,
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两点,求四边形
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面积的取值范围.
Ø解题策略
【过程分析】(1)根据题中所给关系证明
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为等腰三角形,即可证明
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为定值
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,根据椭圆的定义求得点
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的轨迹方程.
(2)分类讨论.根据直线
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的斜率是否存在分类讨论.当斜率存在时,通过点斜式设出直线方程与椭圆联立,建立关于
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的一元二次方程,然后利用根与系数的关系得到
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关于斜率
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的表达式,然后利用勾股定理可得到
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关于
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的表达式,从而可得到面积
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关于
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的表达式,然后通过研究
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的函数的最值可得到四边形
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面积的取值范围.再由斜率不存在的情况,可直接求出四边形
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面积.进而可求得最后的答案.
【深入探究】
解决圆锥曲线中的定值、定点问题我们一般采取:(1)从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
圆锥曲线中的最值,范围问题是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
Ø解题过程
【解析】(1)因为
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,
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,故
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,
所以
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,故
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.
又圆
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的标准方程为
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,从而
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,所以
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.
由题设得
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,
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,
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,由椭圆定义可得点
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的轨迹方程为:
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.
(2)当
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与
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轴不垂直时,设
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的方程为
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,
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,
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.
由
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得
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.
则
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,
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.
所以
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.
过点
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且与
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垂直的直线
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,
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到直线
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的距离为
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。
所以
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.
故四边形
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的面积
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.
可得当
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与
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轴不垂直时,四边形
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面积的取值范围为
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.
当
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与
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轴垂直时,其方程为
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,
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,
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,四边形
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的面积为
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.
综上,四边形
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面积的取值范围为
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.
Ø解题分析
(1)利用平面几何的性质,由
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为定值,可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程.
(1)分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为
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,利用根与系数的关系和弦长公式把面积表示为直线的斜率
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的函数,再利用函数的性质即可求出最值.
Ø拓展推广
解题模板:在圆锥曲线中求面积的最值或者范围问题,通常可利用
(I)几何法:
(1)可根据圆锥曲线的定义,把所要求的最值问题转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离;
(2)利用两点间线段最短,或垂线段最短,或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件,进而求出最值;
(3)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;
(II)代数法:
对于此类求三角形或四边形的面积的的最值或者范围的问题,关键是选择一个适当的或者合理的面积公式转化成常见的函数(二次函数、反比例函数等).在这个过程中,我们通常依据三角形的面积公式(四边形通常分割成三角形)去建立目标函数.在这类题型中,我们常见的一些有关面积的表达式有以下几种:
①
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.(底=弦长公式求解,高=点到直线的距离);
②
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.(
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或
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);
③对角线互相垂直的四边形,面积=对角线长度乘积的一半;
④面积的比值可转化为线段长度的比值.
通常我们是通过研究所建立的目标函数的最值,来达到所要解决的面积的最值或者范围问题.在利用代数法解决最值或范围问题时常从以下几个方面考虑:
①利用判别式来建立不等关系,通过解不等式来求解范围或者最值问题;
②研究函数的最值,来求解;通常研究函数的最值方法有(1)若是常见的二次函数,则可利用配方法求解;
(2)可借助配凑、换元、然后利用基本不等式(或对勾函数)求解;
(3)利用导数求解,利用导数研究函数的单调性,从而达到求解目标函数的最值或者范围问题.
变式训练1
抛物线
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的焦点为
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,过点
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的直线交抛物线于
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两点.
(1)若
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,求直线
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的斜率;
(2)设点
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在线段
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上运动,原
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点
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关于点
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的对称点为
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,求四边形
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面积的最小值.
变式训练2
已知椭圆
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短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线
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与圆
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相切.
(1)求椭圆
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的标准方程;
(2)已知过椭圆
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的左顶点
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的两条直线
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分别交椭圆
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于
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两点, 且
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,求证: 直线
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过定点, 并求出定点坐标;
(3) 在(2) 的条件下,求
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面积的最大值.
变式训练3
如图,过椭圆
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上一点
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向
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轴作垂线,垂足为左焦点
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,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
分别为
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的右顶点,上顶点,且
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.
(1)求椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的标准方程;
(2)过原点
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做斜率为
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的直线,交
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
于
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
两点,求四边形
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
面积
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的最大值.
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变式训练4
已知椭圆
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的四个顶点组成的四边形的面积为
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,且经过点
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
(1)求椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的标准方程;
(2)若椭圆
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的下顶点为
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,如图所示,点
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为直线
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上的一个动点,过椭圆
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的右焦点
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的直线
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垂直于
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,且与
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
交于
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
两点,与
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
交于点
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,四边形
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和
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的面积分别为
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.求
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的最大值.
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变式训练5
已知椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的离心率为
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,且点
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
在椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
上.
(1)求椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的标准方程;
(2)若直线
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
交椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
于
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
两点,线段
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的中点为
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
为坐标原点,且
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,求
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面积的最大值.
答案
变式训练1
(1)
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.
(2)
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.
(1)依题
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意知
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,设直线
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的方程为:
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.
将直线
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的方程与抛物线的方程联立,消去
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得
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.
设
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![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,所以
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.①
由
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,得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.②,联立①和②,消去
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,得
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.
所以直线
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的斜率是
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.
(2)由点
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与原点
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关于点
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对称,得
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是线段
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的中点,从而点
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与点
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到直线
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的距离相等,所以四边形
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的面积等于
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![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
所以当
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时,四边形
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的面积最小
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,最小值是
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
变式训练2
(1)
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.
(2)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
(3)
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(1)由题意
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,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
. 即
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.
(1)由题意可知直线
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的斜率存在且不为
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.由(1)得:
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
. 设
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,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
由
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得
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,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
同理得
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①当
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时,
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,直线
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的方程为:
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,整理后可得:
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,于是可知直线
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
过定点
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.
②
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时,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
过定点
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
综上所得直线
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
过定点
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
(2)由(2)知直线
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过定点
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,于是有
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
令
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,当
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
时取等号,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
当
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
时取等号,此时
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
面积有最大值,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
变式训练3
(1)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
(2)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
(1)由题意可得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
由
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,解得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,由
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
故椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的方程为
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
(2)由题意可设
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,设
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
它们到直线
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的距离分别为
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,
将
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
代入
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,则
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
由
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,且
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
当且仅当
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
时取等号,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
当
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
时,四边形
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的面积
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
取得最大值
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.
变式训练4
(1)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
(2)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
(1)因为
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在椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
上,所以
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,所以
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
解得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,所以椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的方程为
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
(2)由(1)可知
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,设
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
则当
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
时,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的直线方程为:
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
直线
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的方程为
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,即
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
由
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
则
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
又
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,所以
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
由
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,所以
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
所以
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
当
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
时,直线
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
所以当
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
时,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
变式训练5
(1)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
(2)1
(1)由已知得:
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,解得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
椭圆
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
的标准方程为:
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
(2)设
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与
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轴的交点为
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
设直线
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
方程为
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
联立
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
即
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
由
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,得
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
则
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
由
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
令
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
则
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,
当且仅当
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
,即
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
时取等号,此时
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
.
所以
![](http://n4.ikafan.com/assetsj/blank.gif)
面积的最大值为1.