32立体几何解法第五招：开宗立派-建系求角
立体几何解法第五招：开宗立派-建系求角
(2020年全国统一考试数学理科)如图,
为圆锥的顶点,
是圆锥底面的圆心,
为底面直径,
.
是底面的内接正三角形,
为
上一点,
.
(1)证明:
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
【答案】见解析
【解析】
(1)证明:设
的边长为
,则可知
,
.
∵
,∴
,得
.
∴
,则
.
∴
,得
.
同理
,得
.
又∵
平面
,
平面
,
,
∴
平面
.
(2)如图,以
为坐标原点平行于
方向为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系.
由(1)可设
,则有
,
,
,
.∴
,
,
,
设平面
的一个法向量为
,
则
得
,得
.
设平面
的一个法向量为
,
则
得
,设
,
则
.
∴二面角
的余弦值为
.
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形)
一、异面直线所成的角
设两异面直线
所成的角为
,
分别是
的方向向量,注意到异面直线所成角的范围是
,则有
二、直线和平面所成的角
如图,点
在平面
外,
为
内一点,斜线
和平面
所成的角为
,
为
的一个法向量,注意到斜线和平面所成角的范围是
,则有
,结合向量的夹角公式便可求
三、二面角
如图,
分别在二面角
的两个面内且垂直于棱,
分别是
的一个法向量,则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小:
(1)
等于二面角的平面角;
(2)
与二面角的平面角相等或互补。
评议:利用向量法求空间角的大小,经常用到平面的法向量。求法向量的方法主要有两种:
1、求平面的垂线方向向量；
2、利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列出方程组求。
1.如图三棱柱
中,底面
是边长为
的等边三角形,
,
分别为
,
的中点,
,
.
(1)证明:
平面
.
(2)求二面角
的平面角大小.
2.如图,四面体
中,
是正三角形,
是直角三角形,
,
.
(1)证明:平面
平面
.
(2)若
,求二面角
的余弦值.
3.在棱长为
的正方体
中,
为
的中点,过
,
,
的平面交
于点
.
(1)求证:
;
(2)求二面角
的余弦值.