第10招：借花献佛-放缩法证明不等式

第10招：借花献佛 - 放缩法证明不等式

在证明不等式的过程中,往往需要将代数式的某些部分适当地放大或缩小,从而得到相应的不等式,以达到解题的目的,这种解决问题的方法就称为放缩法.

放缩法的一般思路为:要让不等式

成立,有时可以将它的一边放大或缩小,寻找一个中间量,例如:将

放大成

,即

,再证

即可达到证明的目的. 但在使用放缩法解题时的难点在于,要注意把握“放”和“缩”的度。

1.放缩法是中学数学的常用解题技巧之一,特别适用于思维难度大、构造性强的题目,能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力. 由于放缩的尺度不好把握,因而放缩法是一种较难的解题技巧,在学习过程中要善于总结,积累一些常用的函数不等式和解题模式.

2.常见函数放缩:

常见变式为:

常见变式为:

3.其他常见放缩

分式放缩:

数列放缩:

(2017课标Ⅲ理21)已知函数

.

(1)若

,求

的值;

(2)设

为整数,且对于任意正整数

,

【答案】见解析

【解析】(1)

的定义域为

.

① 当

时,因为

,不符合题意;

② 当

时,由

知

当

时,

;当

时,

.

所以函数

在

单调递减,在

单调递增,故

是函数

在

上的唯一最小值点,由于

,所以当且仅当

时,

.

(2)由(1)知,当

时,

令

,得

,从而

所以

而

,且

为整数,所以

的最小值为

.

1.已知函数

.

（1）若

，求

的取值范围；

（2）设

，证明不等式

.

2.已知函数

.

（1）若

在

上单调递增，求

的值；

（2）证明：对任意

，都有

.