一道数学题说明：人类有多不擅长概率思维？

文/CxEric

昨天在雪球发了一个概率题，题目如下：

假定存在某种疾病，每1000人中就有1人患上该疾病；该疾病可以被检测出来，检测准确率为99%。如果一个人已被测出是阳性。问：他真的得了该疾病的概率是多少？

题目链接：网页链接

很多朋友给出的答案是99%。

但正确答案是：约9%。

一、解题过程

这个题目有多种理解方式，我提供两种计算思路，不一定是最佳思路。

第一种，是正儿八经地画概率树。

这个图是我随手画的，非常简陋，大家凑合看就好。

如图所示，显示阳性有两种情况：

1、有病——阳性，即【真阳性】

其概率为：0.001x99%=0.099%

2、没病-阳性，即【假阳性】

其概率为：0.999X1%=0.999%

题目给定条件是【已知阳性】，求在此条件下：【真阳性】的概率。

计算过程是：

0.099%÷（0.099%+0.999%）=9.016%

第二种，是一种简便算法。

假定有1000人，其中有1生病，其余999人为健康。

因此：

测出真阳性的人：1人

测出假阳性的人：999X1%=9.99

因此，当已知阳性，求此条件下真阳性的概率是：1/(1+9.99)

如果四舍五入，将9.99视为10，就会算出1/11（约9.091%）

如果不四舍五入，就会算出来：约9.099%

上述两种算法得出的结果都是约为9%，与直觉反应出来的 99%相去甚远。

这里的关键是，能否理解这是一个条件概率，随着【已知阳性】这个条件的出现，概率分布已经出现巨大改变，不能再按照直觉而去推断。

二、这个题目的启发

我昨天发这个贴的时候，其实关注点不是在题目本身，而是想以此说明，人脑其实天生不擅长理解随机性、概率这些东西，更别提以概率的方式来处理【预测】问题。

这个题目只是一个简单的条件概率模型，其难度最多是高中数学水平，但第一次就给出正确答案的人的很少。

昨晚一个有趣的现象是：

一个数学系毕业的朋友，给出的第一个答案是：99%；

一个统计学毕业的朋友，给出的第一个答案是：99%。

——太有趣了，数学很好的人也会被坑。

另一个有趣的现象是：一旦我告诉他们答案不对，很多人第二或第三次就能给出正确答案。

这个例子充分说明了卡尼曼在《思考快与慢》里说的，人脑思考问题有两个系统：

系统1：它的运行是无意识且快速的，完全处于自主控制状态，无法关闭。

系统2：它需要将注意力转移到需要费脑力的活动上来，它的运行通常与行为、选择和专注等主观体验想关联。

人类只有遇到觉得困难的问题、系统1碰壁的时候，才会调动系统2。

所以，昨晚没有答对的朋友大部分是低估了题目的难度，试图直接用系统1来解决问题，但在碰壁后，才认真起来，启用系统2，认真计算了一次。

我完全相信，如果他们不是在手机上看题目，而是拿着纸笔坐在考场，这个题目对他们来说就是湿湿碎而已。

三、概率题目与投资

最后，问题来了。

如果面对这么简单的概率模型，人脑都容易下意识给出一个错的离谱的答案（99% VS 9%），那在现实生活中、在股票投资过程中，人脑对概率的估计，又有多少成把握呢？

我相信，投资者总是过于高估自己的预测能力，其根源是人脑无法很好地理解随机性、概率思维。

一个常见现象是，投资者容易认为：在某时某刻，某股的下跌概率只有30%，但是上涨概率有70%。——这种概率估算有什么依据吗？有什么逻辑和计算吗？没有，就是拍脑袋而已。

另一个常见现象是，投资者和财经媒体，非常热衷于统计历史上“XX事件发生后次日的大盘涨跌的数据”，以此计算出一个【概率】，用来预测第二天大盘的涨跌概率。

比如，历史上某事发生了10次，其中有7次第二天大盘是跌的，于是媒体就会宣称，由于今天发生了该事件，因此明天大盘有70%的概率是跌的。

这是我见过最扯的概率计算，连高中生都不会接受。我建议读者无视这类“概率”分析。

此外，在玩这个游戏过程中有两点启发：

1、如果你低估问题的难度，你会更依赖系统1，这增加了你掉坑的概率；

2、不要太相信自己的概率估计，不要太相信自己对未来的预测（哪怕你已经觉得自己深思熟虑）

四、题目来自塔勒布

这个题目是我昨天在看Nick Sleep 的资料时看到的，但他又是从塔勒布那看到的。

塔勒布在《随机漫步的傻瓜》中，给出了一道一模一样的题目。

“我在行为研究的文献中至少找到偏差十分严重的40个例子。以下是个很有名的测验，也是叫医学界尴尬不已的实例。接下来的问题是给医生做的，引用自本内特写得非常好的一本书，叫做《你赌对了吗？》。

检验某种疾病时有5%的概率产生误报。全部人口有1‰的概率罹患这种疾病。不管是否怀疑罹患这种疾病，随机检测一群人之后，发现有个病患的检测结果呈现阳性，那么这位病患染上这种疾病的概率有多少？”

塔勒布给出的答案如下：

“大部分医生只考虑检测的准确率为95%，而回答95%。正确的答案是病患生病且检测发现有病的条件概率，其结果接近2%。结果有不到1/5的专业人士答对。

我来简化这个答案。假设没有漏报存在。1000个受检的病患中，预料将有一位罹患这种疾病。999位健康的病患中，检测的结果将有约50位染病，因为准确率是95%。正确的答案应该是，随机选取的某人，检测呈现阳性且确实染病的概率如下：

答案为1/51。

不妨想想，这一辈子你曾有多少次被告知染上某种疾病，需要接受某种药物治疗且忍受可怕的副作用，而实际上你真的罹患那种疾病的概率只有2%！”

五、再来一个题目

这个可能有点难。

在一个电视节目上，挑战者来到最后一关，他要从三扇门里选一扇门。其中一扇门背后是奖品，一辆汽车的钥匙；其余两扇门后面是一只羊。

现在，挑战者选了其中一扇门，但还没打开。

此时，主持人从没被选中的两扇门里，打开了一道门开给挑战者看：呐，这是一只羊。

然后，主持赋予挑战者一个选择权：你要不要换一道门？

问：他该不该换？

这个题目很有名，也非常有趣，答案也是反直觉的。

我迟些会在评论里放相关的讨论文章。

希望大家玩的开心。