【疯狂数学家】费马:史上最欠揍的数学家,也许打一顿就老实多了

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这是【疯狂的智人】第 006 篇文章
疯狂的数学家】第 006 篇文章

如果说要从数学史上拎出一个最欠揍的人,我想,可能皮耶·德·费马会榜上有名吧,以这人命名的“费马大定理”足足折腾了整个人类三百年,直到上世纪末才在英国数学家怀尔斯的手中得到了证明。

他最欠揍的地方在于,他总是吊人胃口,看下去你就知道了。

费马是17世纪的人,他是法国的一个律师,数学上只是业余,因此也被人们称为“业余数学家之王”。

费马的父亲在当地开了一家大皮革商店,因此费马的生活是衣食无忧的。虽然他大学学的法律,但在还没毕业就已经买了一个官职。平心而论,费马不适合当官,他的政绩始终没什么突出的地方,但他人品还不错,从不接受贿赂。而且他的一生极其平淡,几乎找不到什么八卦的地方。

在费马活着的时候,几乎没有人知道他在干什么。在1629年之前,他就自己重写了公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充,对古希腊几何学,尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理,对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。

我们都知道,解析几何是笛卡尔的发明,但是从一些当时费马与他的数学朋友的书信中,我们有理由相信,他和笛卡尔独立发明了解析几何。

如果说笛卡尔是从一个轨迹来寻找方程的解,那么费马则是用方程来追踪轨迹。

早在牛顿和莱布尼茨之前,就已经很很多数学家对微积分的诞生做出了贡献,费马就是其中之一,他建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法。

1621年,费马在巴黎买到了一本古希腊丢番图的《算术》一书,他利用业余时间深刻研读了此书,开创了数论这个数学上的独立分支。

在研究数学的时候,费马创造了两大猜想,于今天来讲,因为这些猜想已经被证明了,所以又叫费马大定理和费马小定理。(否则就成了费马大猜想和费马小猜想了)

费马小定理说的是:如果n是任意正整数,p是任一素数,那么n的p次方减去n,可以被p整除。这里说明一下,素数指的是一个数只能被其本身和1整除的数,一般人们也叫它质数。

举几个例子方便大家理解,比如我们取p=3,n=5,则5的3次方减去5,得120,而120可以被3整除。再如,我们取p=11,n=2,则2的十一次方减去2,得2046,2046=11*186,可以被11整除。

费马在一封信中写下了这个定理,但一如既往的,他没有给出证明方法,而是在信中说:“如果不是怕这个证明太长的话,我就邮寄给你了。”

你就说这句话欠不欠揍吧!

第一个证明是莱布尼茨给出的,但第一个公开自己证明这个小定理的数学家是欧拉,他为了这个小定理前前后花了七年的时间。

实际上,在费马的一些手稿中,人们发现了一些蛛丝马迹,他确实描述了一种比较简便的方法,被称为“无穷递降法”,这种办法,我觉得就像爬梯子,其实说穿了也就是“数学归纳法”。

在证明这个小定理之前,我们先来一些准备工作。

如果一个素数p能够整除a*b*c*d…这个数,那么p就一定能够整除a、b、c、d…这些因数中的至少一个。这个定理实际上已经在2000多年前就被欧几里得证明了。其中要注意的是,p是素数,如果p是非素数,那么这个定理就不对了。

下一步,我们来看二项式,直接给结论,p可以整除(n+1)^p-(n^p+1),这个二项式可以在牛顿那里找到证明方法。(其中,p是素数,n是正整数,下面一样)

同样的,p也可以整除(n+1)^p-(n+1)。

让我们回到费马小定理,“如果n是任意正整数,p是任一素数,那么n的p次方减去n,可以被p整除”,实际上,这等价于求证“p是n^p-n的一个因数”。

最简单的办法,我们用代入法,当n=1时,就变成了“1^p-1”,1的任何次方都是1,1-1=0,p当然可以整除0,实际上,任何正整数都可以整除0。

现在,我们已经证明了p是“1^p-1”的因数,用上面那个定理(n+1)^p-(n+1),我们可以得到(1+1)^p-(1+1)能被p整除,这也就是2^p-2。以此类推,当n=3.4.5…的时候,定理同样成立。

如此,费马小定理破矣!

费马还有过一个猜想,他声称自己发现了一个始终能生成素数的公式,这个初看上去比较复杂,涉及到次方上面还有次方,我们令m=2^n,那么费马认为,p=2^m+1都是素数。

显然,当n时最初几个数的时候,费马的这个公式是对的。比如,当n=1时,m=2,p=5,很明显,5是素数。当n=2时,m=4,p=17,也是素数。当n=3的时候,m=6,拿着计算器或手算一下,得p=257,也是素数,当n=4时,p=65537,花点功夫,也能知道他是素数。

但是当n=5的时候,P就是一个天文数字,4,294,967,297,一般人可能在不借助计算机的情况下,用几年时间都不知道它是否是素数。

后来,欧拉证明了,当n=5时,p不是一个素数,它可以分解成两个因数的乘积。有意思的是,欧拉用的正是费马小定理破掉了费马的这个关于素数的猜想。

当n=6.7.8,其实p也不是素数了,只不过每走一步,p也就越来越大。

欧拉比费马小了一个世纪,在这一个世纪当中,无人敢挑战费马的各种猜想,主要也是计算量太庞大了,而欧拉是一个心算贼厉害的人。

欧拉还证明了费马的另一个猜想,某些素数可以写成两个数的平方和。我们都知道,除了2以外,其余的素数都是奇数,因为任何偶数都可以被2整除,也就不符合素数的标准了。如果我们用4去除一个大于4的奇数,那么我们会得到要么是1,要么是3的余数。换句话讲,如果p是大于2的素数,那么我们可以得到,p=4k+1或p=4k+3,其中,k是正整数。

在1640年左右,费马猜想,对于前者,p=4k+1,它能以一种方式且仅有一种方式写成两个完全平方数之和,而对于后者,p=4k+3,则无论如何也无法写成两个平方数之和。

比如当p=193时,p=(4*48)+1,它能被写成p=144+49,即p=12²+7²,而其他形式的平方和都不可能等于193。而素数p=199=(4*49)+3则无论如何也无法写成两个平方数之和。

一百年后,1747年,欧拉证明了它。

后人根据费马的手稿,发现要证明这个定理,要用反证法。

我们先假设,如果一个形如4k+1的任一选定素数不是两个平方数的和,那么将会有同样性质的另一个数,比选定的那个数要小,因此接下来会有第三个更小的数。以此类推,我们最后回到了数字5(也就是4*1+1),这是形如4k+1的所有数中最小的一个,很显然,如果假设是正确的,那么5就不能写成两个数的平方和。但现实情况是,5可以啊,5=4+1=2²+1²,因此,我们用反证法可以证明。

在讲费马大定理之前,我们先来介绍一下丢番图方程。丢番图是古希腊的著名数学家,它留下来的墓志铭非常有意思,我在【光荣希腊】中的末尾讲过,这里就不重复了。

我们来看一个数字27,它可以写成27=25+2,显然,27和25都是某一个数的平方或立方,那么这也可以写成3³=5²+2,我们通过观察就能得出,y³=x²+2这个方程有一个整数解。需要注意的是,这里的xy都是整数,如果不是整数,那我们就有无穷多的非整数解满足此方程,那就没意义了。

我们找到了这个方程的一组整数解,那么问题来了,这个方程有没有其他的整数解呢?费马证明,没有其他的整数解了,而且他的老毛病又来了,没有给出证明过程。这个证明直到他死了好几年后,才有人给出。

费马有个习惯,在阅读丢番图的《算术》这本书时,喜欢在空白处写点猜想,他在某一处的空白处写下了那个著名的费马大定理(概括如下):

当n>2且为整数时,则方程x^n+y^n=z^n无整数解,xyz均不为0。

他写道:“我已经发现了一个真正奇妙的证明,但是这个空白太窄了,我写不下!”

你就说费马这人值不值得拉过来暴打一顿吧!

但是,正因为这个大定理,费马就足以名留数学史,虽然他是业余的。后世,无数的仁人志士耗尽所有精力投入到了对这个定理的证明之中,均败下阵来。一个费马大定理,其实可以将整个人类近代以来的所有数学都串联起来,你就说这有多厉害了吧。

就连欧拉和高斯都无能为力,尽管欧拉也做出了一些突破,但都是杯水车薪,莱布尼茨甚至直接认为费马是瞎写的。

我们大概可以推断出,在费马那个年代,要证明他的大定理,几乎是一件不可能的事,除非他自己就发明了后来的很多工具。至于费马是真的发明了,而吝啬地没有记录下来呢,还是正如莱布尼茨所言,费马压根就是瞎写的,恐怕也没有人能够知道了。

我们唯一可以确定的是,费马这人,很欠揍,也许打一顿,他就老实多了。

下期:帕斯卡

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