从一道高考题再谈分离变量与零点存在性问题

本篇选用的例题是2020全国1卷文数导数解答题：

第(1)问不细说了，容易得到f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增，于是可以得到一个非常重要的结论：

如果想要拿满分，这个结论在(2)问中是不可或缺的，因为要利用这个放缩来找特殊点应用零点定理。下面来看第(2)问，不少同学一看这个形式不由得喜上眉梢，这不是送上门的分离变量么，于是祭出分离变量大法，但比较可惜的是，如果严格判卷，分离变量做法是有很多容易被忽略的细节在的，下面就来谈一谈涉及的细节。

(2)问第一步不少同学习惯这么写：

在不严格判卷时，这步没有问题，如果严格判卷，这步就会被扣掉1分，原因在于，分离变量后得到的函数定义域与f(x)定义域不相同，新函数定义域为x≠-2，因此我们需要说明x=-2并不是f(x)的零点之后，才可以下结论：

接下来就是求导，求极值，很容易得出a>1/e是必要条件：

在书写g(x)单调区间时，依然有一个很容出错的地方，就是没有考虑g(x)定义域，顺手直接写出g(x)在(-∞,-2)上单调递减，这又会导致扣掉1分。

接下来就是通过找特殊点和零点存在定理论述充分性，不使用零点定理论述充分性一般会被扣掉1~2分，也就是说对于一个不够细心和扎实的同学来说，这个题使用分离变量做法，严格判卷是3-4分起扣的。

书归正传，其中(-2,-1)上的零点相对好处理，进行一个简单的放缩，将分子固定为e^-2，可以方便的找到特殊点：

另一边就麻烦一些，也就是(-1,+∞)这个区间上，找特殊点还需要对e^x进行放缩处理，而且要处理成x2次或2次以上的形式，下面这个变型在很多需要放缩找特殊点的场合都可以用，需要记住：

当将e^x放缩成(x/2+1)^2之后，那么就可以得到g(x)≥x/4+1/2，这样很容易找到特殊点4a。假如需要e^x需要更高次形式的放缩呢？

像上面这样就可以得到x任意次的放缩了，甚至利用二项式定理我们还可以构造出任意我们需要的形式。

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对于这样的题目，表面上看分离变量很好做，实际上如果考虑应用零点定理讨论零点的存在性，分离变量相比直接讨论没有优势可言，反而是有一点点更麻烦了，当然如果不奔着满分去，直接略掉零点定理论述部分，那分离变量做法还是很有优势的，这需要读者自行抉择。