中考数学压轴题分析：等腰直角三角形与动点轨迹问题

本文内容选自2021年郴州中考数学几何压轴题。题目以等腰直角三角形的旋转为背景，涉及动点轨迹问题，以及等腰三角形的存在性问题。题目难度一般，不过问法比较典型，值得研究。

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【中考真题】

（2021·郴州）如图1，在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时为等腰三角形？

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【分析】

（1）由旋转的性质得到边角等量关系，再根据SAS证明全等即可。

（2）①由图2可以发现△AEH≌△AFG，由于∠HAG=90°，若要证明∠HFG=90°，只需得到四边形AHFG对角互补即可。

由于全等可以得到∠AHE=∠AGF，结论易得。

②当△AGQ为等腰三角形时，需要进行分类讨论。需要分3种情况，但是由于点H在线段EF上运动，且不与点E、F重合，那么只需分为两种情况讨论即可。

即类型一：当AQ=GQ时，∠AQG=90°。

还有类型二：当AG=GQ时，∠GAQ=∠GQA=75°。

【答案】（1）证明：如图1，

由旋转得：，，
，
，
，
；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形中，，

，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，，，
，，，
，，
，
，
；
②分两种情况：
如图3，时，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
如图4，当时，，

，，
，
，
当的长度为2时，为等腰三角形；
综上，当的长度为或2时，为等腰三角形．