【自然常数E的故事】- 图解高中数学系列 / 四六文摘

自然常数 e 的故事

e(自然常数, 也称为欧拉数)与π一样是数学中最伟大的常数之一. 它大约近似为2.718281828, 是一个无理数, 就是说小数点后面无穷无尽, 永不重复.

与 π 和 √2 不同, 它不是由几何上发现而来的, 而是关于增长率和变化率的常数, 无论是人口、收入等增长, e 就会出现. 但是它为什么和增长率有关呢? 让我们回到 17 世纪, 看看发现 e 最初诞生的问题吧.

e 的由来

1683年, 瑞士的雅各布. 伯努利在研究复利的时候发现了一个有趣的现象:

下面半年单独结算后, 再全年结束后的收入情况:

就是说一年后共会获得 2.25 块钱. 恩, 看起来好了哦. 那现在计算利率周期再短一些会怎么呢? 假设每个月结算一次, 就是月利率为 1/12 的情况, 计算如下所示:

那按此计息方式最终得到大约 2.61304 块钱, 这个方案会又更好一些. 是不是能得出这样的规律: 利息的周期越短, 收益就更好. 那就让我们继续缩短计息的周期, 变为每周计算, 利率为 1/52 再次计算.

甚至可以计算天利率, 或者小时, 分或秒来计算所有复利之和. 所获得的钱当然会越来越多. 但随着 n 趋于无穷, 对于这样的连续复利, 那会是怎样情形, 会让我们称为百万富翁吗?

换句话说对于下面这个式子的极限值究竟为何?

伯努利知道会是一个 2~ 3 之间的数, 但最终的结果很可惜他并没有计算出来. 这个问题由 50 年后的欧拉搞定了.

解开 e 的神秘面纱

伟大的欧拉借助下面的公式计算出来小数点后 18 位.

也就是下面的展开形式:

并且欧拉借助连分式的形式证明了 e 是一个无理数, 观察这个连分数的形式

注意连分式中 2,1,2 之后出现的很规律出现的1,1,4,1,1,6,1,1,8,....

也就是说这是能够一直被处下去的连分数, 那就意味着它是个无理数.

e 的性质

e 是描述增长率的自然常量, 并且 e^x 还是唯一具有下面性质的函数:

这个函数曲线上的每一个点的 y 值, 在该点的斜率和曲线下面积都是相同的. 特别是当 x =1 时, 函数值就等于 e. 斜率也是 e, 而曲线下的面积也是 e.

也正是因为这主要性质, 使得它成为了微积分中最喜闻乐见的符号(微积分也正是描述变化率, 极限求和的数学). 所以当在微积分课程中, 每每遇到 e 的计算, 你觉得计算应该会简单很多.

提到了 e , 通常会提到将所有著名的常数出现在同一个方程 - 欧拉恒等式(Euler's identity)

这个公式被视为为数学中最美丽的方程, 因为 e, π, i, 1, 0 这些数学中最重要的常数数量同时出现在一个公式中. 推荐观看今天的视频.《最美数学公式：欧拉恒等式》

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