我和数学女孩的那些年|第2部:《费马大定理》
Hey~
我们又见面啦~
你还好吗?
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2017.07.13
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数学女孩2:费马大定理
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﹃
我
和
数
学
女
孩
的
回
忆
﹄
·
·
·
·
·
序
●
言
我忘不了。
我怎么也忘不了高中时期因数学而结缘的她们。
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1
思考成长的含义,
追溯发现的意义。
询问孤独的含义,
获悉言语的意义。
“哥哥,高中学习难吗?”尤里一边问,一边摇晃着栗色的马尾辫,把书放回书架上。
“学习?没有那么难。”我擦着眼镜回答。
“但是,这里的书感觉都好难啊。”
“这些不是学校的课本,是我自己感兴趣才看的。”
“出于兴趣读的书反而更难,真怪。”
“因为自己喜欢的书都是拿来挑战自己理解极限的嘛。”
“一如既往,好多数学书啊……”尤里踮着脚,望着高大书架上的图书,努力想看清书脊。紧腿蓝色牛仔裤很配她那苗条的身材。
“尤里你讨厌数学吗?”
“数学?”尤里回过头,“嗯……说不上喜欢,也不讨厌。哥哥你应该是 —— 喜欢的吧?”
“嗯,我喜欢数学。学校放学后,我也会在图书室里研究数学。”
“诶?”
“图书室在学校尽头,冬暖夏凉。我超喜欢图书室,每次去那都要拿上喜欢的书,基本上都是数学书,还带着笔记本和自动铅笔,在那写数学公式,然后思考。”
“诶?写数学公式?而且不是作业?”
“嗯。作业我课间休息的时候就写完了,放学后就开始摆弄数学公式。”
“那样……开心吗?”
“有时候也会画图,偶尔会发现一些美丽的东西。”
“诶?自己写笔记还会发现美丽的东西?”
“嗯,对啊,我自己都想不到。”
“尤里也想让哥哥教给人家喵~~~!”
我这表妹,撒娇的时候不知怎的会学猫说话。
“好啊,现在就来试试看吧。”
2
这是整数的世界。
我们数数。数鸽子,数星星,掰着指头数离放假还有多少天。小时候泡在热乎乎的澡池子里,被家长命令“好好地把肩膀都泡进去”,只好默默忍受着,然后数到十。
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我把笔记本在桌子上摊开,冲尤里招手。她拖着椅子轻轻坐在我左边。瞬间飘来一股洗发水的香气。尤里从胸前口袋中取出一副树脂边框的眼镜戴上。
“咦?这是哥哥写的?”
尤里探着头,惊讶地看着笔记本。是米尔嘉的笔迹。
“呃,这是哥哥的朋友写的。”
“诶,字好漂亮,简直跟女生写的一样。”
本来就是女生写的嘛。我心想。
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“哥哥,这是什么题?”
“这个题叫作找不同。这里有六个数对吧? 101, 321, 681, 991, 450,还有 811。在这些数字中间,只有一个与别的数字‘不同’。我们就是要找出这个数。”
“很简单啊,450 对吧?”
“嗯,正确。不同的是 450。为什么呢?”
“只有 450 不是以数字 1 结尾,其他五个数字都是以 1 结尾的。”
“没错……那么,你能答对下一道题吗?这也是我朋友出的题。”
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“诶?全部都以 1 结尾啊。”
“嗯,这一题跟上一题的规则不一样,每道题数字间的不同之处都是不一样的。”
“我不知道。哥哥你知道吗?”
“嗯,很明显啊,51 是不同的。”
“诶?为什么?”
“只有 51 不是质数。因为 51 = 3 × 17 可以分解质因数,所以 51 是合数,而其他都是质数。”
“这我怎么可能知道嘛!”
“那看看下道题如何?”
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“嗯……哥哥,是 256 吧?其他数字中都有两个连续相同的数。100 的 00,225 的 22,288 的 88……对吧?” ,
“但是 121 不连续啊?”
“唔……有两个 1 相同,所以也算是啦。”
“那 361 又怎么算呢?”
“唔……”
“这道题里,不同的是 288。”
“为什么为什么?”
“只有 288 不是平方数。也就是说,只有 288 不能变成某个整数的平方的形式。”
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“我说哥哥,我能知道这个才怪呢。”
“那下面这道题如何?哥哥我可是花了一整天才解开这道题的。”
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“你能想一整天?太吓人了。”尤里说。
这时,我妈拿来了可可。
“啊,不好意思,谢谢您。”
“脚不要紧吧?”我妈问尤里。
“嗯。”
“她脚怎么了?”我问道。
“脚跟附近偶尔会非常痛。”尤里说。
“是不是生长痛啊……”
“没关系,我下周去医院看看。”
“是吗?话说回来,这房里要是多放一些尤里喜欢看的书就好了。”
我妈看了一圈我的书架说道。
“没事,我喜欢哥哥的书架。啊,这可可超级好喝的!”
“喜欢就好,留下一起吃晚饭吧。”
“好!不好意思总麻烦您。”
“想吃什么?”我妈来回看着我俩。
“这个嘛,健康点的就好。”
“不过,要有活力的!”我说。
“不过,要洋气的!”尤里憋着笑。
“不过,要有日本情调的!”我也笑了。
“喂,孩子们……你们以为妈妈是神仙吗。好,那我就试试满足你们这超级具体又一如既往的愿望吧。”
我妈说着走出了房间,我们鼓掌目送她。
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3
这是图形的世界。
我们画画。用圆规画圆,用三角尺画线,被不经意中画出的正六边形吓了一跳。拖着伞跑过操场,描绘出漫长的直线。回头是圆圆的夕阳。再见了三角形,明天见。
“别猜谜题了啦,之前说的‘美丽的发现’是怎么回事啊?”
“那么我们就来谈谈时钟巡回吧。”
“嗯。”
“像这样,画个圆。—— 圆你知道吧。”
“当然!”
“画个圆,把它看成时钟。从 12 点的地方开始,每隔两个空连一条线。也就是先从 12 到 2 画一条线,然后再从 2 到 4 画一条线,接着从 4 到 6,从 6 到 8……明白吗?”
“当然明白。”
“一直画下去会怎么样?”
“会回到 12,形成一个六边形。”
“没错,会形成一个六边形。将 2, 4, 6, 8, 10, 12 连起来,跳过 1, 3, 5, 7, 9, 11。”
“嗯,我明白。把偶数连起来,跳过奇数对吧。”尤里连连点头。
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“对。啊,尤里,你还知道奇偶数啊!”
“喂,哥哥!你从刚才就……把我当笨蛋?”她生气地鼓起脸颊。
“没有没有,那我们再画一个时钟。刚才是每隔两个空连一条线,这次我们每隔 3 个空连一条线,就是 3, 6, 9,然后回到 12。”
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“哥哥,这次形成了菱形呢。”
“然后我们将级数设为 4。”
“级数?”
“把‘每隔 4 个空’称为‘级数为 4’。级数为 4 时,就连上了 4、8 以及 12。”
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“形成了三角形。”
“那么,再往下看。这次我们每隔 5 个空连一条线,也就是说——”
“也就是说,级数为 5 对吧。”
“对。这次就好玩了! 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7,然后回到 12。”
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“哇!好好玩,转得好漂亮啊!”
“是吧。尤里你刚刚说的‘转得好漂亮’,是说‘把所有数字都连上了’吧。”
“嗯,对。绕一周后没有刚好回到 12,而是错过去了。每绕一圈就继续向下错位,最后终于回到 12。结果线通过了所有的数字。”
“没错。我们把时钟表盘上所有的数都绕一遍的现象称为完全巡回。级数是 5 的话,就能完全巡回。”
“我明白了。”
“接下来级数是 6。”
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“级数为 6 就没意思了,只有 6 和 12 啊。”
“那这次换尤里画画看。哥哥看着你画。”
“嗯,知道了,我试试看。嗯……级数是 7 对吧。从 12 开始,沿顺时针方向,每隔 7 个空连线。首先是 7,然后是……2 吧。2 之后是 9…… 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5, 12。啊,完美地绕遍了所有数字。完全巡回!”
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“有没有发现什么?”
“发现什么?”
“随便什么都行。”
尤里看着图陷入了深思。
我从侧面看着她那认真的样子。栗色头发束在脑后,一脸专注的初二学生,眼镜与她的气质很是相称。
“嗯……不知道。”
“我们把刚刚级数 5 和级数 7 的图放在一起看看。”
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“嗯?啊,顺序相反!嗯……每隔 7 个空顺时针连线的效果,刚好跟每隔 5 个空逆时针连线的效果一样。”
“对。那这次我们把级数换成 8……”
“啊,不行不行,哥哥!不准你画!我来画!这次是跟级数 4 的效果一样!”
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“就是这样。”
“剩下的都交给我来画!”
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“好有意思啊。”
“把级数 1 和级数 11 也画出来啊,尤里。”
“啊,对……级数 1 的话不用空过去直接连就好了。—— 这也算完全巡回吗?”
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“级数为 6 时,说起来就是跟自己配成一对哦,尤里。”
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“全部都组成了一对呢。嗯……自己动手画居然能有新发现。”尤里说。
“倒不如说,只有自己动手画才能有新发现。”
4
这是我们的世界。
我们走在寻访“真实的样子”的旅途上。失落之物重见天日,已逝之物重返世间。我们承载着生命和时间的重量,经历着如此消逝和发现,死亡重生。
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“哥哥平常就在图书室干这些事吗?”
“嗯。哥哥我呀,就喜欢这种游戏。玩时钟巡回大概是初中时候的事了。那时候我在笔记本上画了好多这样的图形。”
“我说哥哥,这图形有什么秘密吗?”
“貌似是有什么规律。”
“嗯!确实!”
“比如说,什么时候能实现‘完全巡回’呢?”
“嗯,级数是 1, 5, 7, 11 的时候?”
“是这样没错。嗯……先在这里总结一下吧。”
可实现完全巡回的级数总结:
若级数为1, 5, 7, 11,可完全巡回。
若级数为2, 3, 4, 6, 8, 9, 10,无法完全巡回。
“这不是明摆着的事吗?”
“就算是明摆着的事,最好也要认真总结下来哦,尤里。总结出具体例子,看级数是哪些数时可以实现完全巡回,然后据此找出级数的规律。‘从具体例子中引出规律’称为归纳。为了进行归纳,要更认真地思考。你认为形成完全巡回的规律是什么?”
问题 1-1 (完全巡回的规律)
级数具备何种性质时,可实现完全巡回?
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5
“我不太明白呢……话说回来,感觉就像人家在跟哥哥一起研究呢。”
“尤里,不是就像在一起研究,而是正在一起研究哦。虽然问题本身很不起眼。”
“我们试着把能巡回的数字按级数归纳到表里。”
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“怎么看这张表呢?”
“最左侧那列,竖着排列的 1~11 是级数。然后将与级数对应的巡回的数字从小到大排列,就是右边横着排列的那些数字。打比方说,级数为 3 时,就能巡回 3, 6, 9, 12 这四个数字,就是刚才我们画图时用线连起来的数字。从这张表中你能看出些什么吗?”
“感觉像倍数?”
“什么意思?”
“呃……我说不好。”
“这可不行。得把想到的都好好表达清楚。”
“那个,我感觉巡回的数字就是‘巡回的数字中最小的那个数字’的倍数。”
“哦?比如说?”
“比如说,从上面数第二行,2, 4, 6, 8, 10, 12 全都是 2 的倍数。然后刚才哥哥你说的从上面数第三行的 3, 6, 9, 12 全都是 3 的倍数,对吧。所以右边最左端的数字是 1 的话,就可以转一周。就是完全巡回。举个例子,级数为 1, 5, 7, 11 时,对应那一行就把 1~12 所有数字都集齐了。因为每个自然数都是 1 的倍数!”
“原来如此!确实是这样。我们把 1, 5, 7, 11 这四行单独拿出来看看吧。”
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“对吧对吧?”
“没错。能实现完全巡回的级数那行肯定包含 1,而且不能实现完全巡回的级数那行是不包含 1 的……”
“嗯嗯。这样问题 1-1(完全巡回的规律)就有答案了呢。”
“不不,还没有。问题要求的是级数的性质,所以必须说出巡回的数字中包含 1 的都有哪些级数。”
“什么意思啊,哥哥?”
“我们把‘巡回的数字中最小的那个数字’称为最小巡回数。刚才你发现‘最小巡回数’等于 1 的话就可以实现完全巡回对吧。”
“是这样呢。”
“问题是可以从‘级数’计算‘最小巡回数’吗?我们试着总结之前研究的内容,把从‘级数’到‘最小巡回数’的对应关系写出来,看看能不能找出‘最小巡回数’的计算方法。”
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“唔……人家看不出来。刚开始是 1, 2, 3, 4,怎么突然又回到 1 了呢。”
“那给你个提示。时钟的‘表盘数字的个数’一共有 12 个对吧。结合 12 这个数字想想看。”
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尤里拨弄着马尾辫,想了一阵。
“嗯……嗯……倍数?感觉左边的数字好像是右边的数字的倍数。”
“嗯?”
“比如从下往上数第四个,左边是 12 和 8,右边是 4 对吧。12 和 8 都是 4 的倍数!”
“原来如此,确实是这样……”
“啊,这个我在学校学过。这个叫公倍数,不不,搞反了,是公约数。右侧的‘最小巡回数’是左侧两个数字的约数……因为是两个数字的约数所以是公约数! 12 和‘级数’—— 也就是‘表盘数字的个数’与‘级数’的公约数就是‘最小巡回数’!”
“真厉害!可惜有点遗憾,不只是公约数这么简单哦。”
“诶?啊,对了,是最大公约数!”
“没错。那什么情况下能实现时钟的完全巡回呢?”
“最大公约数为 1 的时候。‘表盘数字的个数’与‘级数’的最大公约数为 1 的时候能实现完全巡回。”
“对,回答完全正确!”
“万岁!”
解答1-1 (完全巡回的规律)
“表盘数字的个数”与“级数”的最大公约数等于 1 时,可实现时钟的完全巡回。
“总之就是‘互质’时可以实现完全巡回。”
“互……质?什么意思?”
“就是‘最大公约数为 1’。”
互质
自然数 a 和 b 的最大公约数等于 1。
此时我们将 a 与 b 的关系称为互质。
“打个比方,12 和 7 的最大公约数等于 1,所以 12 和 7 是互质的。而 12 和 8 的最大公约数等于 4,所以 12 和 8 不互质。用互质可以这样描述完全巡回:只有‘表盘数字的个数’与‘级数’互质时,才能实现时钟的完全巡回。”
解答1-1a (完全巡回的规律)
只有‘表盘数字的个数’与‘级数’互质时,才能实现时钟的完全巡回。
“嗯……互质啊。”
“尤里有一种打破砂锅问到底的精神,真了不起啊。刚才我列表的时候,你也问我该怎么去看来着。不太明白的时候就有必要打破砂锅问到底。尤里就是这种‘打破砂锅问到底的人’呢。”
“因为人家笨嘛,好多东西都不懂。”
“尤里才不笨呢,勇于承认‘不懂’是正确的,笨蛋是那些揣着不懂‘装懂’的人。”
“哈哈……只有哥哥你才会表扬我的‘不懂’。不过,能受到表娘好开心喵~”
“表娘?”
“不要在意细节!人家不好意思嘛,你就别吐槽了啦~”
6
这是数学的世界。
整数是由神创造的,克罗内克如是说。毕达哥拉斯以及丢番图把整数和直角三角形连接在一起。费马则更加别出心裁,他的一句玩笑话困扰了数学家们三个多世纪。
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“哥哥,这个时钟巡回也是数学吗?”
“是啊,我认为是标准的数学。”
“不过,怎么说呢……画个时钟,咕噜咕噜转,列个表……很有意思,不过还是更像玩游戏。这是数学吗?数学是什么?”
“数学是什么?—— 这一句话是说不清的。不过,调查数字的性质应该是数学重要的活动之一,归在数论这个领域。就像刚刚咱们两个那样,画画图,列列表,推测推测数字的性质,找出其中的规律。这确实很有游戏的味道,不过归根结底还是数学。一般规律不可能一眼就看出来,而是要通过分析具体的事例来导出,这个过程就是归纳。其口号就是从特殊到一般。”
“嗯……是这样吗?”
“这么说吧,表盘数字的个数一般有 12 个对吧。12 个数很少,用级数一个个去试,自己就能亲眼见证能不能实现完全巡回。但是要是有 100 个数字怎么办?虽然这时候已经算不上时钟了。要是有 1000 个,100 000 000 个数字呢?那时候,级数是多少才能实现完全巡回呢?”
“那么多想试都试不了。”
“对,我们没有办法实际去试。不过啊,就算不能靠画图实际确认,只要求出‘表盘数字的个数’和‘级数’的最大公约数,就知道能否转遍所有数字。即使自己不去尝试,世界上谁都不去实际尝试,我们也能知道答案。这就是数学的力量。”
“……”
“看穿问题中隐藏的规律,我们甚至能洞察自己无法到达的未来,以及世界的尽头。”
“看穿规律……”
“数学连无限都可以处理。既可以将无限时光折叠,放入信封,也可以将无限宇宙尽收掌心,令其高歌。这就是数学的乐趣所在。”
“喔……”
“数学很厉害的哦。”我说。
“数学是很厉害,但是哥哥你能这么热情地聊数学就更厉害了!比学校的老师还有热情!人家都吓了一跳喵……”尤里抿嘴笑着说,“哥哥你干脆将来当老师吧,你也很会教人。要是哥哥来当我的老师,人家成绩肯定会突飞猛进的。”
“但是等我当上老师的时候,尤里你都已经毕业了啊。”
“啊,对啊……”
尤里摘下眼镜,慢悠悠地放回胸前口袋,略带几分扭捏地摆弄着头发。不一会儿,她突然换了个话题。
“我说,‘哥哥’这个称呼,是不是太孩子气了呢。”
“没有啊,你喜欢怎么叫就怎么叫。”
“嗯,也对!我说……哥哥。”
“什么?”
“那个……”
“嗯。怎么了?”
“你知道人家现在在想什么吗?”
我看着尤里,尤里看着我。她把手背在脑后,捏着马尾辫,上下啪嗒啪嗒地摇着,好像小马的尾巴。虽然发色是栗色,但随着光影变幻时而会闪烁出金色的光芒。
“在想什么?”我问道。
“嗯……算了,不告诉你喵。”
尤里笑着冲我露出两颗小虎牙。
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7
回想起那时的岁月,我脑海中顿时浮现出一个个计算公式、一个个新鲜的想法。这些数学公式不会随着时间的推移而显得落伍或陈旧,而是向我展现了欧几里得、高斯、欧拉等数学家们熠熠生辉的才思。
“对了,哥哥之前花了一天琢磨的那个找不同的谜题,你还没告诉我答案呢。”尤里说。
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“弄明白了其实很简单的。239, 251, 257, 263, 271, 283 这六个数都是质数。质数中只有 2 是偶数,所以这六个数理所当然都是奇数。也就是说,将它们除以 2 都会余 1。”
“这个嘛,确实如此。”
“那么,不去 想‘除 以 2 的余数’,换个角度想想‘除以 4 的余数’。列成表就是下面这样。”
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“诶?有什么不一样的吗?”
“六个数中,只有 257 除以 4 余数为 1。剩下的五个数除以 4 余数都是 3。”
“啊……是这样没错。但是哥哥,这平常根本不会注意到啊。不觉得有些牵强吗?除以 4 有那么重要?”
“可是……听到自然数这个条件,就应该马上想到‘它是奇数还是偶数’。奇数和偶数用除以 2 的余数来区分。偶数余数为 0,奇数余数为 1。用除以 4 的余数分类这个方法也跟它很像。因为奇数除以 4 余数不是 1 就是 3。哥哥我花了一天才注意到‘用除以 4 的余数来分类’这件事。为这事儿我肠子都悔青了。”
“哥哥你真是喜欢数学啊!总觉得听哥哥讲话好有意思啊!人家想知道什么,哥哥就会马上告诉我。人家稍微提一句,哥哥就会告诉我像时钟巡回这么有意思的事,还会热情地跟我说关于数学的事……人家好想从哥哥那学更多东西啊……对了!不当学校老师也可以的,只要当人家的专属老师就好了!”
“请别人教是一方面,但是自己思考也很重要。即便是理所当然的事,也要想一想是不是果真如此,这种怀疑的态度是非常重要的。”
“简直就跟‘猫老师’一样呢。”
""
“猫老师?”
“爸爸那有部老动画,猫老师是那里面的角色。嗯……它是这么说的。”
"同学们……
这白茫茫的一片究竟是什么东西,你们知道吗?"
“白茫茫的一片?”我又问道。
“嗯。说的是银河。虽然人们叫它‘河’,但并不是一条河,它其实是由小星星汇聚而成的。猫老师其实是想让同学们去看它真实的样子。猫老师问焦班尼,焦班尼答不上来。可是啊,其实猫老师自己也不知道银河真正真实的样子。那之后,焦班尼坐着银河铁道列车体验了银河……”
“宫泽贤治的那部作品?”
“对对,就是那个。《银河铁道之夜》。”
“‘究竟是什么东西,你们知道吗’——这真是个好问题。这是在问‘真实的样子’啊……”
白茫茫一片的“真实的样子”。
数字本身“真实的样子”。
我们自身“真实的样子”。
……
这时,厨房传来了我妈的呼唤声。
“孩子们,开饭了!健康又有活力,洋气又有日本情调的 —— 超辣茄子咖喱饭!”
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“
高斯走过的路即数学的前进之路。这条路具有归纳性。
从特殊到一般!此乃标语。—— 高木贞治
”
拨开层层密林,找出藏宝,数学就是这样一种令人兴奋的寻宝游戏。比拼智力,寻找最牛的解法,数学就是这样一场激烈的战斗。
故事还有很多
我想下次再与大家一起
静静分享
数学
和
我们
文末美食图|来源网络
本文节选自图灵出版《数学女孩》第二部试读章节, 这本书以小说的形式展开,重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深,数学讲解部分十分精妙,被称为“绝赞的初等数学科普书”。
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