中考数学压轴题分析：黄金分割比

本文内容选自2021年湘潭中考数学压轴题。本题以黄金分割为背景，考查黄金分割比与三角有关的内容，体现数学文化，难度不大。

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【中考真题】

（2021·湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若，求的长；
（2）知识探究：如图②，作的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径、；
②作的中点，以为圆心，为半径画弧交于点；
③以点为圆心，为半径，在上连续截取等弧，使弦，连接；
则五边形为正五边形．
在该正五边形作法中，点是否为线段的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值．

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【分析】

（1）根据比例关系，代入求值即可。

（2）由于P为ON的中点，所以OP=1/2r，进而用r表示出PQ、OQ的长度，建立比例关系进行证明即可。

（3）求余弦值，需要构造直角三角形，过点P作垂线，根据黄金分割比，得到线段的比例关系，再在直角三角形中根据余弦的定义求解。

【答案】解：（1）根据黄金分割点的意义，
得，
，
；
（2）是线段的黄金分割点，理由如下：
设的半径为，则，
，
，，
，
即是线段的黄金分割点；
（3）如图③，作于，

由题可知，，
正五边形的每个内角都为，
，
即，
点是线段的黄金分割点，
，
又，，
．