高中数学 - 关于平行证明
内容：线线平行的证明；线面平行的判定及性质；面面平行的判定及性质。
目标：1.探究直线与平面平行的性质定理.
2.体会直线与平面平行的性质定理的应用.
3.通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣.
重点：通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线与平面平行的性质定理。
难点：综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化。
考情分析：立体几何是高中比较重要的知识点，由于这部分内容在初中所学的内容中没有铺垫，需要同学们在高中重新建立起来知识体系。故理清这部分内容的知识脉络尤为重要。高考中立体几何必有一道大题，还可能出现选择、填空等，这一部分内容并不难，所考的类型也相对固定，故这一部分内容我们一定要拿分！
过程：1、知识点讲解
（1） 直线与直线平行
（2） 直线与平面平行
（3） 平面与平面平行
（4） 平行的证明
2、例题讲解
（1） 直线与直线平行
（2） 直线与平面平行
（3） 平面与平面平行
3、小结
4、练习
一、 知识点讲解
1、直线与直线平行
定义：同一平面内不想交的两条直线叫做平行直线。
回忆一下我们初中学过的怎么来证明两条直线平行？
1） 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。
2） 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行的传递性）
3） 平行四边形的性质：平行四边形对扁平型。
4） 三角形中位线性质：三角形中位线平行与底边。
5） 两直线平行的判定定理：同位角相等两直线平行；
内错角相等两直线平行；
同旁内角互补两直线平行。
2、直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行
1）、直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行 ，那么这条直线和这个平面平行。
例1：已知如图，空间四边形ABCD，E、F分别为AB、AD的中点，求证：
例2：如图：四棱锥
—
中，底面
是平行四边形，
为侧棱
的中点，证明：
∥平面
2）、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行。
例3：已知如图，
，
，
，且
，求证：
。
3、平面与平面平行
定义：如果两个平面没有公共点，那么叫做两个平面平行
1）、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则两个平面平行。
例4：如图，在正方体
中，
、
、
分别是
、
、
的中点，求证：平面
平面
．
2）、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
平面与平面平行的性质定理2：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
例5：已知如图，
，两条直线l、m分别与平面相
交于点A、B、C和点D、E、F，求证：
.
4、平行的证明
直线与直线平行的证明
1） 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行的传递性）
2） 平行四边形的性质：平行四边形对扁平型。
3） 三角形中位线性质：三角形中位线平行与底边。
4） 两直线平行的判定定理：同位角相等两直线平行；
内错角相等两直线平行；
同旁内角互补两直线平行。
5）直线与面平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行。
6）平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7）直线与平面垂直的性质：垂直与同一个平面的两直线平行。
直线与平面平行的证明
1)直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2）平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，一个面内的一条直线，平行于另一个面。
平面与平面平行的证明
1）平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
2）推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则两个平面平行。
3）直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面平行。
经典题型
直线与直线平行
1、已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )．
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
2、l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）。
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
3、给出下列四个命题：
①没有公共点的两条直线平行；
②互相垂直的两条直线是相交直线；
③既不平行也不相交的直线是异面直线；
④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．
其中正确命题是________．(填序号)
4、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的是________．(填序号)
①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；
②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；
③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；
④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．
5、已知
为空间四边形
的边
上的点，
⑴若
都分别是所在边的中点，求证：四边形
为平行四边形；
⑵若
，求证：
．
直线与平面平行
1、下列命题中正确的个数是（）
①若直线l上有无数个点不在平面
内，则l∥
.
②若直线l与平面
平行，则l与平面
内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面
平行，则l与平面
内的任意一条直线没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
2、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）
A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交D．无数条直线都不相交
3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：
（1）BF∥HD1；
（2）EG∥平面BB1D1D；
4、如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB
、PD的中点，
求证：AF∥平面PCE.
5、如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
求证：MN∥平面PAD；
平面与平面平行
1、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
2、下列命题中，正确的个数是（ ）
①平行于同一条直线的两直线平行
②平行于同一个平面的两直线平行
③垂直于同一条直线的两直线平行
④垂直于同一个平面的两直线平行
⑤平行于同一条直线的两平面平行
⑥平行于同一个平面的两平面平行
A． 1 B．2 C．3 D．4
3、下列命题中，真命题有_______．
①若
，则
；
②若
，则
；
③若
，则
；
④若
，则
；
4、a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题
①⇒α∥β ②⇒α∥β
③⇒a∥α ④⇒α∥a
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①④ C．② D．①③④
5、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？
课堂小结
证明线线、线面、面面平行问题
高考对平行关系的考查主要以线面平行为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.
利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化.