抛物线7——圆锥曲线讲义之十八

老子说：道生一，一生二，二生三，三生万物。

本节进一步讲解抛物线三条切线围成的三角形（一般称为抛物线的外切三角形）的几个与面积有关的有趣而深刻的性质：

34     证明 A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

35  求满足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M，C’A’B,C’B’A共线的动点M的轨迹。判定并证明A’B’与轨迹的位置关系。

36      切点三角形面积和外切三角形面积之比是否为定值

37      对于抛物线上定点AB，在AB内部的抛物线上求点C，使得△ABC面积最大

38      设△ABC’面积为1，请计算抛物线与AB围成的弓形的面积。

34 证明 A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

证明：

则由上节结论6知相应坐标为

即A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

注：

此比例性质很优美，一般称为阿波罗尼斯（Apollonius）性质.证明也不困难。

不难想象，反之亦然，此性质也可以作为抛物线的一个判定，即为下一题。

35  求满足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M，C’A’B,C’B’A共线的动点M的轨迹。判定并证明A’B’与轨迹的位置关系。

证明：

设A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’=k,

即A’B’斜率恰为抛物线经过M点的切线斜率，

故A’B’与抛物线相切于M。

注：

1)此结论在意料之中，只需照猫画虎、按部就班的把上题证明倒着写一遍即可。不难想象，本题还能进一步推广为：

对给定三角形C’AB,满足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M，C’A’B,C’B’A共线的动点M的轨迹为一条与C’A,C’B,相切于A,B的定抛物线。进一步，A’B’始终与此抛物线相切。不过要注意的是一般的抛物线方程未必是标准方程，可能会比较复杂。

2)不难发现，性质31中的RQ其实就满足上述比例关系，因此RQ为抛物线的切线。

36 切点三角形面积和外切三角形面积之比是否为定值

思路一：直接用坐标算出两个三角形的面积公式。先得到一般的任意三角形的面积公式，然后代入即可。

解法一：

下面回到本题，将本题中ABC,A’B’C’坐标代入上述公式即得

思路二：利用结论33，将本题可以转化为平面几何面积问题，只需要设出比例，利用比例关系计算相应面积即可。

解法二：

利用结论33，令A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’=k,则

故[ABC]=2[A’B’C’],即切点三角形面积为外切三角形面积的2倍。

注：

(1) 上述引理的面积表达式优美而且重要，证明也比较自然而简洁，就是用割补法表达出面积即可算得。当然熟悉行列式的读者应该知道，此面积可以用行列式简单明了的表达出来，

考虑到中学生一般都没接触过行列式，这里就不再赘述。感兴趣的读者可以自行查阅相关资料。特别的，当三角形的一个顶点为原点时，此面积表达式只有两项，是一个教材中的常见的结论。

(2) 需要说明的是，考虑到坐标可能会出现负值，上述面积表达式最好带上绝对值，例如细心的读者会发现本题后面的面积表达式的符号是相反的。其实可以不引入绝对值，引入有向面积会更合理。类似于三角函数中正角的规定，我们规定，逆时针旋转的三角形的面积为正的，顺时针旋转的三角形面积为负值。这样就能发现本题中两个三角形因为旋转方向相反，所以比值为负值，其实这样的规定更合理，而且更精确。

(3) 本结论是抛物线一个优美而深刻的性质。特别的，当C为AB中点时，则A’,B’也为中点，

就得到前面的结论6，即C’C为中线，并能进一步得到中线C’M中点也在抛物线上且过此点的抛物线的切线和AB平行，当然也能计算得到。

(4) 上述证法二是面积法的常用技巧，其中第一个面积公式因为三个三角形底边相同，故本质是线段的定比分点公式，这是基础而常见的结论。

(5) 由上述证法二可以得到一个一般的平面几何问题，即：

如图，BEA,AFC,EDF共线，且BE/EA＝AF/FC＝ED/DF。

求证：[DBC]＝2[AEF]。

37 对于抛物线上定点AB，在AB内部的抛物线上求点C，使得△ABC面积最大

思路一：

利用36题中得到的三个点的面积公式，得到一个二次函数，用均值不等式或者对称轴即能解决。

思路三：

利用几何意义，本题相当于求AB弧内部到AB距离最大的点，将AB平移，则当距离最大时，此直线会和抛物线相切，从而只需求切线斜率和AB相同的点C即可。

解法三：

注：

上述三种解法殊途同归，结果很好理解，就是上题中当C’C为C’AB中线时，取得最大值。前两种解法都是化为二次函数，用均值不等式或者对称轴解决，解法三利用几何意义，结论似乎显然，也是最常见的解决方法。不过严格上说证明并不是很严谨。不难发现本结论也和前面结论8暗合。

38    设△ABC’面积为1，请计算抛物线与AB围成的弓形的面积。

思路：考虑上题结论中的特例，当C’C为中线时，则△ABC面积为0.5.

继续如法炮制，过A’,B’作x轴平行线，则和抛物线围成的面积是剩下面积的1/4，

如此反复操作，每次新增加的面积都是上一个面积的1/4，得到一个无穷递缩等比数列，

求和即得。

解：考虑36题结论中的特例，当C’C为中线时，则[△ABC]=1/2.

继续如法炮制，过A’,B’作x轴平行线，交抛物线于A’’,B’’.

则同理有

即抛物线面积为2/3.

注：

本结论本质是微积分的思想和方法，当然也可以通过积分得到。不过这里相当于给出了一个详细的构造和计算的过程。事实上，这是2000多年前阿基米德当年得到的解法，此方法一般称为“穷竭法”，是微积分思想的渊薮。这也是前两节中此类三角形被称为阿基米德三角形的原因所在，此题算是综合了几何和微积分的妙题，值得我们仔细品味。