让中央集体学习的量子科技究竟是啥?这个科普我已经做了五年(二)量子力学三大奥义 | 袁岚峰

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导读
叠加、测量和纠缠,是量子力学中跟信息科学关系最密切的“三大奥义”。你如果了解了这三大奥义,你就超越了99.9%的人。

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上次(让中央集体学习的量子科技究竟是啥?这个科普我已经做了五年(一)量子是什么 | 袁岚峰)我们说到,最近中央集体学习了量子科技,这正是我科普过最多的领域。所谓量子科技主要指的是量子信息,它是量子力学与信息科学交叉的产物。量子力学有一些神奇的特性,可以帮助信息科学实现以前实现不了的功能,例如科幻电影中的传送术以及快速破解密码的量子计算机。
这次我们就来讲一下,量子力学中的这些神奇的特性是什么。
我把它们总结为三点:叠加(superposition)、测量(measurement)与纠缠(entanglement)。我给它们起了个称号“三大奥义”。
《秦时明月》道家天宗掌门晓梦对战人宗掌门逍遥子
这当然不是说量子力学只有这三点内容,实际上量子力学的内容非常丰富。不过跟信息科学关系最密切的,就是这三大奥义。你如果了解了这三大奥义,你就超越了99.9%的人。
下面,我们就来讲解叠加、测量、纠缠这三大奥义。
第一大奥义:叠加。这个奥义的精髓,是用量子比特(quantum bit,简写为qubit)取代了经典比特(classical bit)。
大家都知道,比特是信息操作的基本单元。我们说一个文件有多少兆、多少G,指的就是有这么多的比特。
什么叫做一个比特呢?意思就是,一个体系有且仅有两个可能的状态,经常用“0”和“1”来表示。所以比特就好比一个开关,它只有开和关两个状态。
相应的有一个比喻,量子比特就好比一个旋钮。旋钮跟开关的区别是什么呢?旋钮是连续可调的,它可以指向任何一个角度。也就是说,量子比特不是只有两个状态,而是有无穷多个状态。
《秦时明月》少司命
让我们看一个具体的例子:偏振光(polarized light)。学过电磁学的人知道,光是一种电磁波,不断地产生电场和磁场。如果电场位于某个确定的方向,我们就说这束光是偏振的。
偏振光
任何方向的偏振都是可以出现的,例如0度的水平偏振、90度的垂直偏振,以及45度和135度的倾斜的偏振。所以一个偏振的光子就像一个旋钮,可以作为一个量子比特。
不同方向的偏振光
如果你学过初中数学,就知道一个平面上的每一个方向对应一个矢量。这个矢量从坐标轴的原点指向单位圆上的一个点,单位圆就是半径为1的圆。
矢量和单位圆
当你看到这个矢量的图像,立刻就会明白,两个方向矢量的叠加可以产生其他方向的矢量。0度和90度相加,就得到45度。0度和90度相减,就得到-45度。
两个矢量可以各自乘以一个常数,然后再相加,这叫做“线性叠加”(linear superposition)。任何一个角度,比如说30度、60度,都可以表示成0度和90度的某种线性叠加。
矢量的线性叠加
你很容易注意到,0度和90度其实并没有特别之处。一个圆上的一个点和另一个点,有本质的区别吗?显然没有,所有点的地位都是平等的。
单位圆上所有点的地位平等
如果我们愿意,我们也可以用45度和-45度这两个矢量叠加,来产生任何其他矢量。例如45度和-45度相加,就得到0度。45度和-45度相减,就得到90度。
用45度和-45度的两个矢量叠加,产生其他矢量
所以对于量子比特来说,真正重要的是存在两个基本状态,其他所有状态都可以表示成这两个基本状态的叠加。至于把哪两个状态指定为基本状态,是0度和90度,还是45度和-45度,那是无所谓的。
这就好比我们学解析几何时,首先要画出x轴和y轴,即选择一个坐标系。在选定坐标系后,我们就可以把平面上任何一点用一组(x, y)的坐标来表示,这就可以计算了。但x轴和y轴的方向其实是无所谓的,无论你怎么取,最终计算的结果都一样。比如说有两个点相距1米,那么在任何坐标系中算出来这个距离肯定都是1米,不可能换个坐标系就变成2米了。
两点间的距离与坐标系无关
真正重要的,是最初要选择两个互相垂直的坐标轴。基于类似的考虑,在量子力学中,我们把两个互相垂直的状态矢量称为一个“基组”(basis set)。例如0度和90度就构成一个基组,45度和-45度也构成一个基组。
坐标系怎么取并不重要,重要的是一定要有一个坐标系。同样的,基组怎么取并不重要,重要的是一定要有一个基组。开个玩笑,长辈的逼婚往往就是:你的对象是什么人并不重要,重要的是你一定要有一个对象!
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为了方便地表述这些内容,我们引进一种数学符号来表示量子力学中的状态。这个符号是这个样子:一个尖括号“|>”,一头竖直一头尖。在这个尖括号中填一些字符,就可以表示状态的特征。
比如说,我们经常把0度的状态写成|0>,把90度的状态写成|1>,把正负45度的状态分别写成|+>和|->。
狄拉克符号
这种符号是英国物理学家狄拉克发明的,称为“狄拉克符号”(Dirac notation)。
狄拉克(Paul Adrien Maurice Dirac,1902 - 1984)
用狄拉克符号,我们就很容易用|0>和|1>的线性叠加来表示|+>和|->:
|+> = (|0> + |1>)/√2,
|-> = (|0> - |1>)/√2。
之所以会在分母中出现根号2,是因为我们要保持矢量的长度为1。把两个长度为1、互相垂直的矢量相加,得到的结果是一个位于它们平分线方向的矢量,长度为根号2。为了让它的长度回到1,我们需要除掉这个根号2。
|0>和|1>的叠加产生|+>和|->
同样的,我们也很容易用|+>和|->的线性叠加来表示|0>和|1>:
|0> = (|+> + |->)/√2,
|1> = (|+> - |->)/√2。
充分理解偏振光这个例子后,我们就可以描述普遍的情况了。在量子力学中有一条基本原理,叫做“叠加原理”(superposition principle):如果两个状态是一个体系允许出现的状态,那么它们的任意线性叠加也是这个体系允许出现的状态。
例如,我们已经知道,水平偏振和垂直偏振是偏振光允许出现的两个状态。这个原理告诉我们,水平偏振和垂直偏振的任意线性叠加,即任意方向的偏振,也是允许出现的状态。
用精确的数学语言来表达,叠加原理说的是:如果一个体系能够处于|0>和|1>,那么它也能处于任何一个a|0> + b|1>,这样的状态称为“叠加态”(superposition state)。这里的a和b是两个数,它们可以取任何值。对它们唯一的限制,就是它们绝对值的平方和等于1,即|a|2+ |b|2 = 1,这是为了保持矢量的长度不变。
a|0> + b|1>指向单位圆上的某一个点
在偏振光的例子中,如果用|0>和|1>作为基组,那么|+>和|->就是它们的叠加态。对于|+>来说,a = b = 1/√2。对于|->来说,a = 1/√2,b = -1/√2。我们也可以用|+>和|->作为基组,那么|0>和|1>就是它们的叠加态。
很好,你已经学会了量子比特和叠加原理。一个比特好比一个开关,一个量子比特好比一个旋钮。一个比特只有两个状态,一个量子比特却有无穷多个状态。所以,量子比特能干的事显然比经典比特能干的事多。如果你充分理解了这些,你就超过了90%的人~
下面,我们来介绍第二个奥义:测量。这个奥义的精髓,在于真正的随机性(randomness)。
《秦时明月》白凤
说到测量,所有人都会同意它是非常重要的。但是,测量在量子力学中的重要性,比在经典力学中的重要性高得多。
在经典力学中,测量过程跟其他过程服从同样的物理规律。你相信某个物体首先具有某些确定的性质,如确定的位置、确定的速度,然后你去测量这些性质。无论你看或不看,它都在那里。
正如一句著名的诗:“你见,或者不见我,我就在那里,不悲不喜。”顺便说一句,许多人以为这首诗是十七世纪的诗人仓央嘉措写的,其实不是,它是当代女诗人谈笑靖(扎西拉姆·多多)写的。仓央嘉措内牛满面!总而言之,在经典力学中,你可以随便看。
《班扎古鲁白玛的沉默》
谈笑靖(https://kuaibao.qq.com/s/20191030A090JQ00)
可是在量子力学中,测量就跟其他过程有本质的区别了!一个物体并不一定事先具有确定的性质,而你“看”的这个操作本身,就有可能造成不可逆的变化。简而言之,在量子力学中,你不能随便看。仓央嘉措再次内牛满面!
仓央嘉措
量子力学中的测量,具体是怎么回事呢?
首先,你必须指定一个基组。比如说对于偏振光,你可以用0度和90度即|0>和|1>这个基组,也可以用正负45度即|+>和|->这个基组,总之必须要先确定一个。你的对象是什么人无所谓,关键是要有一个对象。
在确定了基组之后,我们开始测量。重点来了:测量的结果有两种情况,取决于待测量的态是不是基组中的一个态。
第一种情况,待测的态就是基组中的一个态,比如说在|0>和|1>的基组中测量|0>。这种情况的测量结果很简单,就是态不变。进去是什么,出来还是什么。
第二种情况,待测的态不是基组中的一个态,也就是说,它是两个基组状态的叠加态。这时会出现惊人的结果:这个态会发生突变!也常有人把这个突变称为“塌缩”、“坍缩”(collapse)或类似的词。这个突变是瞬间发生的,不需要时间,是一个真正意义的突然变化。
测量导致状态突变
我们需要强调一下,测量时的突变是量子力学中最大的神奇之一。你可能听说过量子力学有很多违反日常直觉的地方,简直好像一门玄学,那么这其中有一大半就是由测量造成的。
费曼(Richard Phillips Feynman,1918 - 1988)说:没有人真正懂得量子力学
你也许想问:测量时为什么会突变?对不起,我们不知道。目前我们只能确认,这条原理是正确的,因为由它推出的可观测结果都跟实验符合。但为什么会这样,这背后有没有更深刻的原因,当前的科学还没有答案。
更具体地说,对突变的定量描述是这样的:如果在|0>和|1>的基组中测量a|0> + b|1>,那么这个态会以|a|2的概率变成|0>,以|b|2的概率变成|1>。由于只可能有这两种结果,所以这两个概率相加等于1,这刚好对应我们前面说的
|a|2 + |b|2= 1。
让我们看一个具体的例子,在|0>和|1>的基组中测量|+>。回顾一下,
|+> = (|0> + |1>)/√2,
在这里a = b = 1/√2。所以结果就是,有一半的概率得到|0>,一半的概率得到|1>。
同样的道理,在|0>和|1>的基组中测量|->,结果也是有一半的概率得到|0>,一半的概率得到|1>。换一个基组来看,在|+>和|->的基组中测量|0>或者测量|1>,结果都是有一半的概率得到|+>,一半的概率得到|->。
在|0>和|1>的基组中测量|+>和|->
以偏振光为例,就能明白这些例子对应什么具体的操作。让一束偏振光去过一个偏振片(polarizer),如果两者的偏振方向相同,就会完全通过。如果这两个方向垂直,就会完全通不过。如果两者的夹角在0度到90度之间,就会有一定的概率通过,一定的概率不通过。
马吕斯定律
比如说,水平偏振光过水平方向的偏振片,会完全通过。水平偏振光过垂直方向的偏振片,会完全被挡住。45度偏振光过水平方向的偏振片,会有一半的概率通过,一半的概率通不过。水平偏振光过45度方向的偏振片,也会有一半的概率通过,一半的概率通不过。
需要注意,在后面这两个例子中,一个光子过了就是过了,没过就是没过,不会有“半个光子”过去。就好比你考试,过了就是过了,没过就是没过,不会有“半个你”过了。我们在前面说过,光子是光的量子,只能有一个光子、两个光子,不能有半个光子。而这个光子一旦过了,就变成了偏振片的方向,而不是原来的方向了。
总结一下,我们可以把对叠加态的测量理解为“削足适履”:给你一组可选的状态,跟你都不一样,而你必须在其中选择一个,就只好随机挑了。
在哲学上,量子力学的测量改变了我们对因果性的理解。在经典力学中,同样的原因必然导致相同的结果,量子力学却不是这样。
在量子力学中,如果某个测量有一半的概率得到A、一半的概率得到B,那么我们可以预测多次实验的结果。把同样的初始状态制备很多份,把这个实验重复很多次,那么会有接近一半的次数得到A,接近一半的次数得到B。但对于单独的一次实验,我们就完全无法预测它得到A还是B。也就是说,同样的原因可以导致不同的结果!这是真正的随机性,是量子力学的一种本质特征。
你可能会问:经典力学中也有随机性,掷硬币不就是一半概率朝上,一半概率朝下吗?回答是:那是伪随机,不是真随机。
掷硬币的结果难以预测,是因为相关的外界因素太多,包括硬币出手时的方位、速度、空中的气流等等。也就是说,经典力学中的概率来自信息的缺乏。
你可以通过减少这些因素的干扰,来增强预测能力。例如在真空中掷硬币,消除气流;用机器掷硬币,固定方向和力度。最终,你可以确定地掷出某一面,或者使掷出某一面的机会显著超过另一面。赌神就是这样炼成的!
赌神
但在量子力学中,测量结果的概率是由体系本身的状态决定的,不是由于外界的干扰,不是由于缺少任何信息。因此,我们无法预测得更多。
比如说给你一个处于|+>的粒子,在|0>和|1>的基组中测量它,问你有什么办法保证这次得到|0>?回答只能是:没有任何办法。我们唯一可说的就是,有一半的概率得到|0>。正如歌剧《卡门》唱的:爱情是一只不羁的鸟儿,任谁都无法驯服……
歌剧《卡门》
你可能想问:有没有可能,这个体系还存在其他一些我们不了解的变量,这些变量决定了测量的结果?在原则上,这当然是可能的,这种想法叫做“隐变量理论”(hidden variable theory)。
玻姆(David Joseph Bohm,1917 - 1992)提出了一种著名的隐变量理论
但到目前为止,各种隐变量理论都没有取得特别大的成功,因为它们做出的预测跟标准量子力学理论完全相同。除了在哲学层面让某些人感到舒服之外,没有任何真正的好处。
既然这样,我们为什么要费这个劲去多引进这些变量?因此,绝大多数物理学家都在用标准的量子力学理论,对隐变量理论没有太多的兴趣。
在应用层面上,量子力学的测量是目前唯一的一种产生真随机数的办法。这是非常有价值的,因为许多数学应用都需要用到随机数。如果你的随机数不随机,能被别人预测,那就会造成严重的后果,例如信息泄露、金融资产失窃。
2018年9月19日,科大60周年校庆时,潘建伟研究组在《Nature》发表文章,在世界上首次实现了“器件无关的量子随机数产生器”(device-independent quantumrandom-number generation)。如果你听不明白这个术语,没关系,这条消息说的是,中国在量子随机数方面领先世界。
器件无关的量子随机数产生器实验示意图(https://www.nature.com/articles/s41586-018-0559-3/figures/1)
现在你已经学会了三大奥义中的两个,叠加和测量。你的知识水平,已经超过了99%的人~
下次,我们来讲第三大奥义:量子纠缠。大家是不是很期待啊?
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