兴衰成败三百年| 俄罗斯数学的光荣与梦想
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导读：
近代史落后西方的俄罗斯，是怎样让数学有一段辉煌崛起？彼得大帝，欧拉与圣彼得堡科学院，罗巴切夫斯基等圣彼得堡学派的辉煌，柯尔莫哥洛夫与新兴的莫斯科学派...
文章节选自：西雅图雷尼尔
作者：雷尼尔
彼得大帝：蒙昧中的火炬
图1 俄罗斯科学院 RAS
讲俄罗斯的数学有个人不得不提一下，那就是欧拉。欧拉，瑞士数学家、自然科学家。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上最多产的数学家，在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
图2 欧拉的故事可以单独写一个系列，非常励志的人生经历。
俄罗斯在近代化之前一直是个相对比较落后的民族，俄罗斯跻身列强也是彼得大帝和叶卡捷琳之后的事情。当彼得大帝刚刚即位的时候，俄罗斯是一个非常落后的国家。然而彼得大帝是个改革进取的君主，他自己在1697年，乔装打扮到德国、荷兰、英国等国考察，亲身体验了西欧国家先进的科技文化。
彼得一世回国后，马上就在俄国推行欧化政策，进行经济、军事、文化、政治等一系列破旧立新。尤其在教育方面，为俄罗斯后面三百年的科技强国地位奠定了基础。比如，在文化教育方面，彼得从头开始培养俄国自己的专门技术人才，建立了算术学校、造船学校、航海学校、炮兵学校、医护学校、工程技术学校、矿业学校，还派了一批留学生到西欧去学习。彼得规定贵族子弟必须上学，必须学会算术和一门外语，否则，剥夺贵族的全部特权，甚至规定不毕业者，不准结婚。
当然技术和基础科学还是很不一样的，在彼得大帝生命的晚期，注意到了基础科学的重要性，于是他在1724年建立了国家科学院。这是俄罗斯科学史上影响最深远的举动。在彼得大帝和他的继任者凯瑟琳女皇主政时期，科学院是一个对外国学者具有吸引力的地方。科学院有充足的资金来源和一个规模庞大的综合图书馆，并且只招收非常少的学生，以减轻教授们的教学负担。科学院还非常重视研究，给予教授们充分的时间及自由，让他们探究科学问题。
在这个时候，欧洲大陆上被家族势力挤兑的很厉害的伯努利兄弟，就流窜到俄罗斯这个学术蛮荒之地去了。一个是尼古拉伯努利（Nicolas Bernoulli），一个是丹尼尔伯努利，两个人都是约翰伯努利之子，虽然约翰坚决反对两个儿子进入科学领域，但是丹尼尔伯努利在科学的天份和成绩上应该是超越其父的。
图3 三代进士何足提，满门学霸天下奇
后来丹尼尔伯努利把他爹（约翰伯努利）的学生拐到圣彼得堡科学院，这个人就是欧拉。1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁。
1741年左右，俄罗斯内部持续动荡，欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长直到1766年。沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡就职，直至去世。在俄罗斯科学院，欧拉做出了大量的成果，是当时欧洲数学的一个重要山头，他培养激励了一大批后来者。欧拉也成为俄罗斯最著名的数学家，物理学家之一。
圣彼得堡学派的崛起
圣彼得堡学派真正成为一个主流学派还需要经历几代人，比如罗巴切夫斯基（1792-1856）和切比雪夫（1821-1894）。罗巴切夫斯基是非欧几何的创造者，而且用一辈子去捍卫真理，赢得了“几何学中的哥白尼”的赞誉。罗巴切夫斯基是在喀山大学成长起来的，所以他受德国数学的影响比较大。而切比雪夫则是圣彼得堡学派的缔造者和代表人物。
切比雪夫的主要研究方向是分析，他在概率论，数论，函数论方面成就斐然。切比雪夫不等式，切比雪夫滤波器，我想学过理工的应该都如雷贯耳。切比雪夫真正为俄罗斯数学做出的贡献在于他培养出来许多优秀的继承者，与哥廷根学派的克莱因和希尔伯特的作用类似。
图4 复习一下巴特沃斯滤波器，切比雪夫滤波器
一个流派，不是一个人的成功，而是一个强大的梯队。有第一梯队，第二梯队，储备人才，在各个方向上都开始突破。切比雪夫就是那个承前启后的人物，不仅仅自己很优秀，而且善于发现人才，培养人才。
比如，切比雪夫的学生就有两位非常非常著名的大数学家马尔可夫（1856-1922）和李亚普洛夫（1857-1918），这两位我想学过随机过程和微分方程的人都应该听说过。马尔可夫是随机过程论的开创者，他创造的这一领域影响了科学多方面的发展，同时他在统计和数论方面也有建树。马尔可夫过程在今天很热门的领域中依然起着巨大的作用。比如隐马尔可夫模型（HMM）是深度学习兴起前语音识别最有效的方法。（现在不知道了，好久没有跟进展了）。
而李亚普洛夫则是微分方程稳定性理论的开创者之一，和庞加莱共享这一荣誉。同时他引入了特征函数这一强有力的工具，简洁地解决了很多问题。学过自动控制理论的都应该拜过这位神仙。
莫斯科学派的兴起
而后世与圣彼得堡学派争霸的莫斯科学派，还在襁褓之中。但是由于学术交流的溢出效应以及数学的传承。导致莫斯科在20世纪初也逐渐涌现出一些新星。其中代表人物是叶戈罗夫（Dmitri Egorov）和鲁津。
图7 叶戈罗夫
叶戈罗夫是个悲剧性的人物，此人是东正教的忠实的信徒，即便是十月革命之后依然坚定地捍卫东正教反对马克思主义。因为他的学术地位在1921年被选为莫斯科数学协会的会长，1923年成为莫斯科大学的力学与数学系主任。但是由于他强烈反对官方压迫东正教，1929年官方开始公开批判这位数学家。1930年被逮捕，1931年，因为反饥饿抗议而再次被捕，最后死于朋友家中。但是叶戈罗夫为莫斯科学派的蓬勃发展奠定了基础，他在莫斯科大学期间经常开办数学讨论班鼓励学术交流，使得莫斯科数学学派开始崛起，并且成为促使数学从经典数学转入现代数学的一支重要力量。
叶戈罗夫讨论班最大的成果是收获了数学大师鲁津。此人又是那种承前启后的人物，本身是实分析的大师，编写了一些经典教科书，同时又培养了一大波大师。比如大名鼎鼎的柯尔莫哥洛夫。在柯尔莫哥洛夫时代，莫斯科学派迎来它的巅峰时刻。
图8 这位大魔王的事迹数不胜数
这个家伙，在1925年大学毕业的时候，一年时间发表了8篇论文！！！而且每一篇论文都有新概念，新思路，新方法！大家学过概率论都应该知道大数定律，强大数定律就是这位老兄的杰作。1930年代，他在概率论、射影几何、数理统计、实变函数论、拓扑学、逼近论、微分方程、数理逻辑、生物数学、哲学、数学史与数学方法论等方面发表论文80余篇。平均每年8篇，而且不同领域！
1940年代，这个家伙又去搞湍流理论了。1941年，这家伙一口气发了三篇文章，一举奠定了流体力学界一代宗师的地位。江湖人称K41理论。这个理论是空气动力学（飞行器设计），潜艇设计的基础。
图9 湍流理论模拟
图10 飞行器设计
图11 如何才能设计最好的流线型，产生最小的阻力与噪音
据我所知，中国在这块无论是理论还是产品离国际先进水平还有很大的距离。比如现在业界用的最广泛的模拟软件 Ansys Fluent 就是美国的产品。
图12 背后是数学和软件的差距，而且是巨大的差距
苏联数学的大繁荣
美苏进入冷战后，苏联深知科技的竞争首先是基础科学的竞争。所以苏联把教育提到国家安全战略的高度，投入了大量的人力物力打造了一套非常高效的人才培养体制。而且在文化上，杰出的科学家，比如物理学家和数学家，就是跟欧美的摇滚明星一样受到全民的崇拜。青少年成长的过程中被灌输了这样的文化观念，许多人都梦想成为科学家的。
教育上的国家战略，具体来讲，就是以前的苏联投入很大比例的政府资金到学校的STEM科目（也就是科学，技术，工程和数学）。这套体制在太空竞赛期间初期，让美国大受刺激。美国在60年代也学习了一些苏联的体制，大力搞STEM。50年代，中国向苏联老大哥学习了这样教育制度，许多理工大学、工业大学等单科或者文理综合的高校诞生了。前苏联在培养数学人才方面是非常有一套的，后来逐渐形成了圣彼得堡，莫斯科，喀山，明斯克等等地方数学研究中心。简单来讲就是培养兴趣，鼓励交流，层层选拔，证明自己。
前苏联，小学是不搞什么奥数的，更多是培养兴趣。柯尔莫哥洛夫的一个理论是：
一些家长和教师企图从10～12岁左右的学生中挖掘有数学才能的孩子，这样做会害了孩子。但到了14～16岁，情况发生变化。这个年龄段的孩子对于数学有无兴趣通常明显地表现出来。其中约有一半的学生断定数学物理对他们并无多大用处，这些学生应该学习特殊的简化课程。另一半学生的数学教育就可以更有效地进行。而这些学生在选择数学作为大学专业时，还应测验一下自己对于数学的适应性--运算能力、几何直观能力、逻辑推理能力。
培养兴趣阶段，苏联推出了大量培养数学兴趣的图书和活动。比如这本书,也曾经引进过中国《莫斯科智力游戏》，唤起了大量孩子对数学的兴趣。
图13 这本书今天在美国依然很流行
俄罗斯真正的精英教育始于初中阶段。在学生小学即将毕业时，他们可以从全国公开发行的一本数学物理科普杂志Quant 中得到一份试题，学生可以把自己做好的试题答案寄到其所在城市的指定部门，再由专家评阅试卷，成绩得出之后，城市的指定部门再组织对通过笔试的同学进行面试。参加对学生进行面试的人员包括中学教师、大学教授及科学研究所的研究人员。被选中的同学将进入所谓的“数学专业中学”学习。在三年以后初中升高中时，将有一次晋级考试，弱者将转入普通高中。
在这种数学专业学校中，除了接受普通的中学教育之外，还会将一半左右的时间花在数学学习上。而且每周去各个城市的的少年宫去听一些顶级教授们的讲课。这些课外的课程的设计得深入浅出，与前沿数学研究中重大问题的提出、现在发展的阶段乃至其解决紧密相联。为了让学生理解并掌握好内容，俄罗斯科学院联合很多大学一起为这一类课程配备了大量的助教，这些助教一般包括大学三年级以上的数学系学生和各级大学教师、科研人员等，并且他们以前也都是毕业于这种数学专业中学的学生，基本上每三位中学生配备一位助教。也就是说如果你真的是数学天才，在你触手可及的地方就有全苏联最顶级的人才团队辅助你，如果你有什么想法，或者想和别人交流，没有什么可以阻挡你。
苏联基础科学的传播是非常重视交流的，除了本地的少年宫交流之外，还有夏令营交流。他们的夏令营不是为了搞奥赛金牌。而是真正的交流，一边学习，一边玩。在这些夏令营的地方，天才们会遇到来自其他地方的天才，比如你感兴趣函数，你可以找到函数的同好一起交流。几年下来就会形成一个小圈子。
这次数学专业中学的学生经过前面的交流，有天分的很快就会在人群中显露出来。每年只有少数人进入莫斯科大学，圣彼得堡大学的实验班学习（一个班30多人）（清华的姚班是中国的翻版）。这些实验班的学生，有非常大的选课自由，可以跨系选，可以跨学校选，甚至可以直接跟科学院的研究员进行研究，写论文。科研与教育相结合是苏联能够大批培养年轻科学家的重要原因。这些实验班自由归自由，但是学风非常严谨，一门不及格留级，两门不及格开除（政治和体育除外）。
在这种严酷的淘汰机制下，真正能生存下来的不到10名。这些人基本上都已经证明了一些数学定理，并且开始撰写论文，有的人已经开始将论文发表出来了。而且他们已经在各个名师的讨论班里，非常活跃，一个新星冉冉诞生。
这些幸存下来的学生，需要进一步证明自己是一个合格的数学家。就要去定方向，解决问题，发论文。这是非常非常挑战性的事情。他们需要根据自己和各个讨论班老师的交流，自己的兴趣，选择一个方向，然后去做论文。而老师给他们的题目很多都是数学界公认的难题。学生需要通过论文证明自己的实力。
前苏联的这套体制为俄罗斯批量培养了大量的基础学科的人才，让前苏联不到美国60%的GDP和美国抗衡了那么多年。
苏联科学家的论文大多都是以俄文发表的。而美国数学会、伦敦数学会联合起来，将俄国几乎所有的知名综合数学杂志以及众多的专业数学杂志一字不漏地全部翻译成英文。大量的苏联教科书被翻译成英文等多种文字在全世界发行并应用，也说明了人们对这一教育、科研体系的认可。直到今天在美国很多出色的数学培训机构跟前苏联那套体系源远流长。
俄罗斯数学的低谷
冷战以苏联解体告终，大量的苏联科学家流失到了美国和欧洲。少量的科学家流落到中国。在我比较熟悉的领域中，SVM支撑矢量机之父，统计学习理论的提出者Vapnik就是从前苏联流落出来的科学家。他一个人推动了一个领域往前走了很多年。而他的理论据说在60年代就已经成熟了，只是躺在了前苏联的保险箱里。
图14 Vapnik