重庆市南开中学高2021届第五次月考第22题：导数之隐零点代换

重庆·云师堂

有人问，离2021年高考已不足三个月，是否应该摒弃难题，回归基础？

（补充：成绩中等）

既然问，就说明自己权衡不下，希望得到建议。

不才，只能粗略地回答：根据以往的经验，眼下还是强攻一些中难题以提升能力，回归基础，最后一到两周足矣。

比如下面这道题，在考场上也许会战略放弃，但平时焉能视而不见啦。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

导数压轴不是稀罕事，未来也必有一套试卷延续这种模式。内容无非是函数的单调性、极最值、不等式恒成立求参数、证明不等式以及函数的零点。

第1问，函数的零点，分类讨论抑或分离参数皆可。新教材提供的极限模式，实在是功德无量，那些魔幻的取点手段暂时可以休矣。

第2问，证明含参不等式，显然，统一变量是当务之急。

如何统一？

隐零点代换。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

函数的零点主要考查三个方向：1判断函数零点的个数；2已知函数的零点求参数的取值范围；2函数零点的综合应用。

本题即是第1类，由于参数不含变量（即常数项），故分类讨论与分离参数并无太大差异。函数的零点、方程的实根、曲线的交点，三者相互转化，体现了函数与方程的思想。

通过隐零点代换，将双变量问题转化为单变量问题，进而构造函数利用单调性即可证明。本题不难，但形式可怖，从而导致不少人直接放弃，悔之晚矣。

值得说明的是，本小题的背景是高等数学中指数函数的“泰勒展开式”的前三项，较之切线不等式更为精细。

法1用到了当下热门的“指对同构”，变形有一定的技巧，主要工具是对数恒等式。

同构——前面我们也介绍过不少。坦率讲，我是鄙视这种套路的，无非就是花式变形。无奈2020年高考山东卷，同构横空出世，加之学生又老是提及，所以无法熟视无睹。

你还别说，一旦用上就有一种难以抗拒的魔力，是个题都想去同构。

先放缩再构造是解决函数不等式的常用策略，放缩后往往一针见血。但注意放缩适度，避免过犹不及。

另外，不放缩直接构造函数也是可以的，交给机智的你吧。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

对于第（2）问的第②小问，下面给出一种学生的错误解答：

乍一看，上述解答似乎天衣无缝，水到渠成，堪称简洁完美。然而仔细瞧瞧，你会发现证明的结论强行变成了2a-lna>2。

咦？什么情况？难道题目出错了？

题目当然没有错，法1与法2便是铁证。那么只能是解答错了，错在哪里呢？错在使用均值不等式放缩过度。所以，放缩有风险，解题需谨慎。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故