抛物线中的定值问题(二)
三角形的铅垂高
“抛物线内接线段”的纵横比
总结：如图，“抛物线内接线段”的“纵横比”只和抛物线的系数a、b以及两端点的横坐标之和有关；线段AB的“纵横比”其实就是直线AB解析式中k的绝对值．
“抛物线内接三角形”的性质
如图，点A、B、C在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上，CM∥y轴，AE⊥CM，交CM延长线于点E，BF⊥CM，交CM于点F，则有：CM＝a·AE·BF
总结：CM为△ABC过点C的铅垂高，AE和BF为三角形另外两点到铅垂高的距离；若抛物线开口向上，过抛物线内接三角形某点的铅垂高＝另外两点到铅垂高的距离乘积的a倍；证明时根据线段的纵横比将EC和EM的代数式分别求出来，再由CM＝EC－EM列式证明；需要注意的是，求EM时，用到了EM∶AE＝GB∶AG，而不是直接根据EM∶AE来求EM。其实对于一个三角形，过任意点都可作铅垂高，一个三角形有三条铅垂高，如下图
总结：点A、B、C在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上，CM∥y轴，AE⊥CM，交CM延长线于点E，BF⊥CM，交CM于点F，则有：CM＝a·AE·BF；若y＝ax2＋bx＋c中的a＜0，即抛物线开口向下，则有：CM＝－a·AE·BF，证明方法一致，读者可自行探究。
典例分析：河南中考删减
二次函数y＝0.125x2的图象如图所示，过y轴上一点M（0，2）的直线与抛物线交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D．
（1）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC·BD的值．
总结：利用“抛物线内接三角形”的“性质”妙解，大大降低了难度，值得注意的是，考试解答题不可直接使用该“性质”，应将结论进行常规证明
变式练习
已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C;若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M、N（M在N的左边），Q为抛物线上一点（不与M、N重合），过点Q作QH平行于y轴交直线l于点H，求（HM·HN）∶HQ的值．（用含有a、m的代数式表示）
总结：此题关键在于用三角函数对HM·HN进行转化，然后套用“性质”秒解。