尘埃落定！一度没人能看懂的600页数学天书，终于正式发表
望月新一（图片来源：京都大学）
2012年，日本数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）将4篇总篇幅超过600页的论文挂到了自己的网站上。望月新一在论文中宣称，他解决了当今数学界最大的难题之一——ABC猜想。然而，这600多页的内容如同天书，在此后一段时间内几乎没有其他数学家能理解。
直到上周，经过7年半的审查，望月新一的论文终于迎来归宿，正式发表于《数理解析研究所公刊》（PRIMS）特刊电子版。不过，论文的发布绝非终点，在这之后，更多同行将对这些充满争议的内容进行解读、评判。而ABC猜想究竟是否已经被真正证明，也有待进一步检验。
撰文 | 达维德·卡斯泰尔韦基（Davide Castelvecchi）
编译 | 吴非
30多年的猜想
望月新一试图解决的ABC猜想，是一个有着超过30年历史的数论难题。这个猜想揭示了整数加法与乘法之间的深刻联系。每个正整数都能唯一地表达为质数的乘积。现在，a、b、c是3个正整数，其中a + b = c。如果a和b能分解为许多小的质数，那么c就只能分解为寥寥可数的几个大质数。
这个想法首先是由法国数学家约瑟夫·厄斯特勒（Joseph Oesterlé）在1985年的一次演讲中提出的。厄斯特勒当时只是随口一提，但在场的瑞士数学家戴维·马瑟（David Masser）意识到，这个猜想可能非常重要，于是开始宣传它的一种推广形式。因此，ABC猜想也被称作厄斯特勒-马瑟猜想。
数年后，哈佛大学的数学家诺姆·埃尔奇斯（Noam Elkies）意识到，如果ABC猜想是正确的，它将会对整数方程研究领域产生深远的影响——对ABC猜想的证明会一下子解决一长串著名的未解丢番图方程。
如何理解ABC猜想的重要性呢？我们先来看此前丢番图方程研究史上最重要的突破。美国数学家路易·莫德尔（Louis Mordell）曾在1922年提出了一个猜想，认为绝大部分丢番图方程要么没有解，要么只有有限个解；而莫德尔的猜想在1983年被德国数学家格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）证明，他三年后因此获得菲尔兹奖。而如果ABC猜想是正确的，你知道的就不仅仅是方程有多少个解，还能把它们全部列出来。
如果得到证实，这将会成为本世纪内最惊人的数学成就之一，也会在整数方程的研究中掀起一场彻底的变革。基于ABC猜想，还可能出现一种用于证明费马大定理的全新方法。
苦战十年
望月新一于1969年出生在东京，他在幼年时就被家人带到美国。年仅16岁时，天赋异禀的望月新一就成为了普林斯顿大学数学系的本科生。很快，他就直接进入了博士阶段的学习，而他的导师正是证明了莫德尔猜想的法尔廷斯。
1994年，在普林斯顿大学取得博士学位的望月新一回到日本，任职于数理解析研究所。此后几年，他的一系列工作取得了国际声誉。但到了21世纪初，望月新一却将自己“封闭”在研究所内，不再参加国际会议，甚至很少离开京都。然而望月新一确实与其他数论学家保持着联系，他们知道望月新一的最终目标就是ABC猜想。他几乎没有竞争者：绝大部分数学家明确避开了这个问题，认为它过于棘手。
2012年8月30日，望月新一在网上公开了自己的证明。不过，他没有选择预印本网站，而是将论文悄悄地发在了数学科学研究所的网站上。这4篇论文不仅篇幅惊人，内容也令其他数学家头疼不已——其中一些数学概念是他完全不熟悉的。望月新一在描述一些全新理论时，会使用令人震惊的、几乎是以救世主自居的语言，他甚至将他创造的这个领域称为“宇宙际几何”。
美国威斯康星大学麦迪逊分校的数论学家乔丹·埃伦伯格（Jordan Ellenberg）这样评价望月新一的论文：“就像是在读来自未来或外太空的论文。”他的导师法尔廷斯也表示：“我尝试读了一部分，然后在某个阶段，我放弃了。我不明白他在干什么”，并且批评他“没有将想法更加清晰地表达出来”。
首先宣称看懂这些证明性的，是英国诺丁汉大学的伊万·费先科（Ivan Fesenko）。费先科仔细研究了望月新一的工作，并在2014年拜访望月新一声称，他已经验证了证明的正确性。统括宇宙际几何的主题，如费先科所述，就是我们必须以另一个角度看待整数——将加法放在一旁，将乘法看成某种可以延伸变化的结构。标准的乘法将会成为一类结构中的特殊情况，就像圆是椭圆的特殊情况。但对于绝大多数数学家来说，这些论文依旧是“天书”，望月新一的猜想一度陷入了僵局。
缺陷无法修复？
2017年12月，日本《朝日新闻》报道称，望月新一的论文已经被杂志正式接收，当时就有消息称接收这些论文的正是望月新一担当主编的PRIMS，不过PRIMS的编辑在当时对这一传言予以否认。
几个月后，望月新一的处境更加不妙。两位德高望重的数学家——2018年菲尔茨奖得主，波恩大学的彼得·朔尔策（Peter Scholze）和歌德大学的雅各布·施蒂克斯（Jacob Stix）反驳了望月新一的证明，并指出其中一个具体的关键段落存在“无法修补的严重缺陷”。作为数论领域的权威，朔尔策在接受采访时表示：“我认为ABC猜想依然是开放的，任何人都有机会证明这个猜想。”
2020年4月3日，望月新一在数理解析研究所的两位同事召开新闻发布会宣布，望月新一关于ABC猜想的证明终于被学术期刊接收、即将正式发表，而接收这些论文的期刊正是PRIMS。
不过，论文被接收的消息，似乎也没有让更多数学家转移到望月新一的阵营。“我可以肯定地说，在2018年之后，学界的态度没有太大的变化，”加州大学圣迭戈分校的数学家基兰·凯德拉亚（Kiran Kedlaya）说。他曾花了数年时间，试图证明ABC猜想。
需要指出的是，数学家在自己担任编辑的学术期刊上发表论文，其实并不罕见。东京大学科维理物理和数学研究所的数学家中岛启（Hiraku Nakajima）说，只要作者回避同行评议流程，“这种情况没有违背任何规则，也很常见。”
在数学界，论文被接收通常并不是同行评议的终点，只有在同行达成共识后，结论才能称得上真正成立。而这个过程，可能需要花费数年时间。
对于望月新一的工作来说，“结果不会是要么完全正确，要么毫无可取之处。”埃伦贝格说。即使ABC猜想的证明没有实现，他的方法与观念仍能够缓慢渗透到整个数学界，研究者可能会发现它们在别的方面有用。“基于我对望月新一的了解，我的确认为这些文件中极有可能包含着有趣或者重要的数学。”埃伦贝格说。
但事情也有向另一个方向发展的风险，埃伦贝格补充道：“我想，如果我们将它忘记，那可就太糟糕了。”
参考链接：
https://www.scientificamerican.com/article/mathematical-proof-that-rocked-number-theory-will-be-published/
《给宇宙带来革命的数学证明？》（《环球科学》2015年12期）