【原创】抛物线中的平移旋转及特殊三角形存在性题目分析方法

掌握一种思路分析方法，胜过做千道题！ 

本题采用历史文件介绍过的方法分析题目，希望大家能从中领悟解题思路.只有掌握题目的分析方法，才是根本.

典型例题：

如图，已知抛物线C₁：y＝a(x＋2)²－5的顶点为P，与x轴相较于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标为1.

（1）如图，抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式;

（2）如图，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄，抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标.

【思路分析】

(1)求C₃的解析式.

第一步：分析C₁和C₃的关系，确定使用顶点式求C₃的解析式最为便捷.

如图，根据题目所给C₁的解析式是顶点式，只要求出C₃的顶点M的坐标，以及-a.问题将迎刃而解.

第二步：求出a和M的坐标.

由C₁：y＝a(x＋2)²－5过点B（1,0）可解得a=5/9.

由题目条件“P、M关于点B成中心对称”,易得出P（-2，-5），B（1,0），由坐标中点公式可求出M的坐标为（4,5）.

注：坐标中点公式：两点 A(x1, y1) B(x2, y2) 则它们的中点P的坐标为（(x1+x2)/2, (y1+y2)/2）

任意一点（x, y）关于（a, b）的对称点为 （2a-x, 2b-y）

第三步：根据a及M的坐标求出C₃的解析式.

C₃：y＝-5/9(x-4)²+5,可将此解析式化为一般式.

(2)求点Q的坐标.

第一步：设点.

先表示出P、N、F的坐标.（说明：没有直接设Q点，是因为Q点不是直角三角形的顶点，根据题目条件后面会用到勾股定理.）

已知P（-2，-5），

∵抛物线C₄是C₁绕点Q旋转180°后得到，

∴可设N（m,5）

同时可分析出|EF|=|AB|，

∴F到抛物线C₄对称轴的距离=B到抛物线C₁对称轴的距离=3

∴可设F(m+3,0）

第二步：根据题目条件，用P、N、F的坐标列出等式，求出M的坐标.

根据“以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形”列式，需要注意分类讨论.

当∠PNF＝90°时,PN²+NF²=PF²,将PN、NF和PD用P、N、F的坐标表示，列出等式.

当∠PFN＝90°时,PF²+NF²=PN²将PN、NF和PD用P、N、F的坐标表示，列出等式.

当∠NPF＝90°时,PF²+PN²=NF²,列出等式后，但是本题中这种情况不存在，说明原因即可.

第三步：根据N坐标求出Q的坐标.

∵抛物线C₄是C₁绕点Q旋转180°后得到，

∴N点和P点关于Q点对称.

根据第一小题中的坐标中点公式求出Q点的坐标.

∵最终求得m=44/3和10/3

∴当m=44/3时，Q点的坐标为（19/3,0）

当m=10/3时，Q点的坐标为（2/3,0）

【答案解析】同学们自行写出过程解答.

本文重点是题目的思路分析，并不是解题过程，因此有些解题过程均简要描述，同学们在解题过程中需详细写出步骤和过程.