2020 高考数学猜想6

——高考对零点和极值点关系另类考查的赏析

极值点是单调性的分界点，高考题目常常是通过单调性确定零点的范围，即零点和极值点的不等关系是普遍的。数学总是想从粗糙的定性分析走向精确的定量刻画，零点是函数值为0，极值点是导数为0，但因为指对数、三角函数和多项式函数的综合使得二者的等量关系极其复杂， 我们可以退而求其次，根据函数构成特点，对这个等量关系进行适当地放缩，得到不等关系。极值点偏移其实给出的就是两个零点和极值点的不等关系，很多试卷在这方面挖掘得很深，2014 辽宁卷（全国专家的命题）和2019 天津文给出了另一个方向的考查，值得大家关注。

【点评1】通过常用不等式把对数函数放缩为多项式函数，容易得到函数值何处小于0。

【点评2】极值点和零点各自具有等量关系，消去参数，得到两者之间的等量关系。再利用常用不等式处理掉对数，对数和指数可以相互转化，再次利用常用不等式放缩可得一次式的关系。

分析：第（2）问，函数的零点范围与单调性有关，即与极值点有不等关系，于是希望这个极值点就是第一个函数的零点，目标是让g'(x)函数中影响正负的为 f(x)，而证明提示我们

导，看能否出现想要的 f(x)。有学生提出能否缩小两个函数零点的范围，比如用二分法，这是研究问题的基本思路，借助计算机才可以处理。

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