【点评】在 2019 年出版的《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》给出了很多这样的变式题目。【点评】此题可以视为 2013 年四川数学初赛试题重现。【分析】推出直线 MN 过定点 T ,则 D 的轨迹是以 AT 为直径的圆,故到 AT 中点的距离为定值。【点评】《解析几何的系统性突破》把教材的题目从不同的角度进行推广。下文选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》11. 不同角度、一般化、特殊化、反过来、再修改——一为千万子曰:“不愤不启,不悱不发。举一隅不以三隅反,则不复也。”即“不到他努力想弄明白而不得的程度不要去开导他;不到他心里明白却不能完全表达出来的程度不要去启发他。如果他不能举一反三,就不要反复给他举例了。”孔子告诉我们了教育的时机和期望达到的目标——举一反三。举一反三、触类旁通都是我们一直追求的境界,但怎么能够真正地做到呢?首先得会总结,哲学要求我们的认识从感性上升到理性,再来指导实践;心理学的完形说要求我们对知识形成一个整体和系统,认为系统所产生的作用远远大于各部分相加;教育学的学习策略中的组织策略是这样说的:将经过精加工出来的知识点加以组织概括,形成更高水平的认知结构。从数学的角度来说,数学概念定理本身就是事物的本质特征和规律的总结。总结,既可以从“知识”上来梳理,也可以“题型+方法”、“方法+题型”、“能力”、“思想和观点”等多种方式去总结。如果学生能够把一个题,从不同角度、不同侧面去变换,得到很多个题目,他就已经能够举一反三了。当学生学完函数,知道系统性的研究方法,能够从函数的观点来看待问题;当学生研究完一个命题,会很自然地思考: 1）命题有等价形式吗?从数和性两方面来解读,比如函数单增的等价命题有
，几何意义就是任意两点连线的斜率为正,也有导数为非负数,几何意义是切线斜率为非负数; 2）是否能推广到一般情况; 3）特殊化之后,能否得到一些常用的结论; 4）反过来,成立吗?即考察一个命题的充分性和必要性; 5）不仅能判断一个命题是否成立,更核心的是能够去适当地修改,使其为真命题等等
简而言之:不同角度、一般化、特殊化、反过来、再修改,一为千万。
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