悬链线方程——数学史上的难题之一，伽利略没能求出，难在哪里？
一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，并只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线。1690年，荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中创造了这个名字。
悬链线与抛物线相似。意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略是第一个研究悬链线的人，并错误地将其形状认定为抛物线。1691年，莱布尼茨、惠根斯和瑞士数学家约翰·伯努利分别得出了正确的形状。他们都是为了响应瑞士数学家雅各布·伯努利（约翰的哥哥）提出的一项挑战，即得到“悬链线”方程。
图1：从左到右分别是雅各布·伯努利，戈特弗里德·莱布尼茨，克里斯蒂安·惠更斯和约翰·伯努利
莱布尼茨和惠更斯发给雅各布·伯努利的图如下所示。他们发表在《博学学报》上，这是欧洲德语国家的第一份科学期刊。
图1：莱布尼茨和惠更斯提交给雅各布·伯努利的答案。
约翰·伯努利很高兴，他成功地解决了他哥哥雅各布没能解决的问题。27年后，他在一封信中写道：
我哥哥的努力没有成功。就我而言，我更幸运，因为我发现了这个问题的答案。对于我当时的年龄和经验来说，这是一个巨大的成就。……我满心欢喜地跑到哥哥那里，他一直在苦苦地与这个难题作斗争，却没有任何进展，总是像伽利略一样认为这个链线是一个抛物线。我对他说，不要再折磨自己了，不要再试图用抛物线来寻求悬链的方程了，因为那是完全错误的。——约翰·伯努利
求悬链线方程
为求悬链线方程，作以下假设：
悬链悬挂在两点之间，靠自身重量悬挂。
悬链是灵活的，有一个统一的线性重量密度（等于w_0）。
为了简化代数上的繁琐，我们让y轴通过曲线的最小值。从最小值到点(x, y)的线段长度用s表示。作用在线段上的三个力分别为张力T_0和T以及它自身的重力w_0s（见下图）。前两个力与悬链相切。
图2：此图包含计算中使用的参数和变量。
要使每一段在水平和垂直上达到平衡，必须满足以下两个条件：
式1：长度为s的悬链的平衡条件。
我们需要解的微分方程是：
式2：我们要解的微分方程。
现在我们要把这个方程写成y和x的形式。我们首先对它求导得到：
式3：式2的导数。
ds/dx的导数可以用dy/dx表示如下：
式4
图3：式4中使用的无穷小三角形
则式3为：
式5：悬链线微分方程。
为了快速求解式5，我们引入以下变量：
式6：解方程5时u的定义
利用式6，式5变成：
式7：用变量u表示式5。
这个方程可以通过变量分离和一个简单的三角代换（u = tan θ）来积分：
式8：积分后的式7。
因为y轴经过曲线的最小值：
式9：变量u在曲线的最小值处为零。
将式9代入式8得到：
式10：用式9求出式8中的c。
将c=0代入式8，求解u，得到：
式11：方程5的解，得出了悬链线方程。
图4：三个悬链的例子。