常见的数学思维方法(8):构造思维
我是超人 2018-03-23
从思维的基本成分方面对数学思维进行分类, 有数学形象思维; 数学逻辑思维; 数学直觉思维三大类。在认识数学规律、解决数学问题的过程中, 还常常使用由其自身特点所形成的一些数学思维方式、方法, 主要的有类化思维、配对思维、函数思维、空间思维、程序思维、整体思维、极端思维和构造思维等。
8. 建构可实现的构造思维
我们考察数学思维, 就要考察数学思维的对象, 过程与结果。数学概念是思维的基本材料,是数学大厦的砖瓦, 沙石, 木料, 而关系、定理、公式是连接这些材料的粘合剂或构架。比如, 一个集合A, 我们通过取子集的方法可以构造出它的幂集, 这样一来, 就产生了一个由包含与被包含的关系所引起的新的不寻常的结构。从两个集合A 与B 中取A 的元素a 和B 的元素b,组成元素对(a,b), 所有这样的元素对的集合又产生出一种新的结构, 记为A×B, 这就是集合A 与B 的笛卡儿积。人们完全可以设想, 学习数学的过程也就是在头脑中产生和建构数学知识形成数学认知结构的过程。下面我们分析如何在思维中实现建构, 从而认识数学结构的构造性思维。
数学思维就其过程来说, 是将数学概念、公式、关系通过思维的组合联结为一个结构, 综合为头脑中的一个新的思维创造物或想象物, 这个过程称之为数学思维中的构造。实现构造的具体操作叫做建构。
为了说明数学中的构造, 先从一道例题的分析谈起。
例1. 证明, 存在两个无理数x,y, 使z = xy是有理数。
证法1: 这是我讲的证法, 用反证法。设对于任何两个无理数x, y 来说, z = xy都是无理数。那么,√2√2就一定是无理数。进而(√2√2)√2=√2(√2√2)= (√2)2= 2 是有理数, 因此得出矛盾。这表明, "对于任何两个无理数x,y 来说, z = xy都是无理数" 的假设不能成立, 因此,"存在两个无理数x; y, 使z = xy是有理数"是正确的。当时, 有同学提出了下面的另一种解法。
证法2: 我们已知√2 与log2 9 都是无理数, 令x =√2, y = log2 9, 则有z = xy=√2log2 9=2log2 3= 3 是有理数。问题得证。
比较例1 的两种证法, 证法1 虽很巧妙, 但证明完毕, 我们对
√2√2到底是个有理数还是无理数并不清楚。证明的基础是排中律与矛盾律。若
√2√2是个有理数, 这就是我们要找的例子; 若√2√2是个无理数, 则(√2√2)√2= 2 就是我们要找的例子。证法2则是构造了一个满足问题条件的实例, 构作的"组件"是无理数√2 与log2 9, 构作的"支架"是对数基本关系式aloga b = b。证法1是非构造性的间接证明, 证法2简单明快, 是一种构造性证明。在证法2中,以问题已知元素或条件为"组件", 数学中的某些关系式为"支架", 在思维中构作了一个新的"建筑物"。这种思维操作有一定的普遍意义。我们再通过一道例题来概括这种思维操作的特点。
例2. a,b,c, d 都是正数, 证明: 存在这样的三角形, 它的三边长等于
√(b2+ c2),√(a2+ c2+ d2+ 2cd),√(a2+ b2+ d2+ 2ab).
并计算这个三角形的面积。
分析: 如果要利用三线段构成三角形的充分必要条件来判定满足条件要求的三角形的存在性,不是容易之举。再用海伦公式根据三边计算这个三角形面积就更使人望而生畏了。
怎么办? 在这"山穷水复疑无路"之际, 只要注意到√(b2+ c2),√(a2+ (c + d)2),√((a + b)2+ d2).的特点, 就会点燃思想的火花, 考虑利用勾股定理把这三条线段构作出来, 不妨试试看!
如图19, 以a+b, c+d 为边画一个矩形ABCD。阴影所示的三角形CEF 的三条边:
CE =√(a2+ (c + d)2), CF =√((a + b)2+ d2).EF =√(b2+ c2)满足题设条件的三角形作出来了, 当然, 它的存在性也就自明了。设△CEF 的面积是S, 显然
S = (a + b)(c + d) − 1/2*bc − 1/2*d(a + b) − 1/2*a(c + d) =1/2*(ac + bc+ bd).真可谓"柳暗花明又一村"了。
例1、例2的解法表明, 在解题过程中, 由于某种需要, 要么把题设条件中的关系构造出来,要么将这些关系设想在某个模型上得到实现, 要么把题设条件经过适当的逻辑组合而产生一种新的形式, 从而使数学问题获得解决。在这个过程中思维活动的特点是"构造", 构造是思维中综合过程的一种最高级的表现形式和结果。在构造性思维过程中, 一般化、特殊化、巧妙地对概念进行分析与综合, 最后制造出一种新的产品--思维的创造物与想象物。需要注意, "构造"不是一般的综合, 而是巧妙地对概念进行的分析与综合, 它是综合的高级形式。
思维的构造活动, 是思维在分析基础上进行综合的高级形式。思维的构造是一种思维的过程, 在这个过程中, 往往体现出诸多种思维方式的综合。也可以大体看到作为构造活动的几个基本环节。
例3. 若a > 0, b > 0, 求证a2+ b2≥ 2ab。
分析: 所证的不等式等价于a2/2+b2/2≥ ab。a2/2可作为腰为a 的等腰三角形的面积, b2/2可作为腰为b 的等腰三角形的面积, ab 可作为边长为a, b 的长方形面积。于是可得图20 的构图。
证明: 作长方形ABCD, 使BC = a, CD = b (不妨a ≥ b)。延长BA 到E, 使BE = a。连接EC,交AD于F。则S△EBC = a2/2, S△FDC = b2/2而SABCD = ab。显然S△EBC + S△FDC ≥ SABCD 即a2/2+b2/2≥ ab。也就是a2+ b2≥ 2ab。容易看出, 当且仅当a = b 时, 成立等式。其实用图21的构想也可以证明a2+ b2≥ 2ab。
例4. 若a,b,m 都是正数, 并且a < b。求证:(a + m)/(b+ m)>a/b。
分析: 对正数a, b 的关系a < b 可用直角三角形中直角边a 小于斜边b 来表示。同理, 设想(a + m)/(b+ m)=a/b时, 可利用相似三角形来表示, 于是得出如下的直观证法。
证明: 作Rt△ABC, 使∠C = 90◦, AC = a, AB = b。延长AC 到D, 使得CD = m,则AD = a+m。过D 作AD 的垂线交AB 的延长线于E, 过B 作AD 的并行线交DE于K。显见, BE > BK = CD = m。由△ACB ∼△ADE, 可得a/b=AD/AE=(a + m)/(b + BE)<(a+ m)/(b + m)。
这样, 我们利用图形证明了这个不等式。
其实, 这个常用的重要不等式很好理解。设想, b 克的糖水中含糖为a 克, 当然有b > a > 0。其浓度为a/b若再溶入m 克糖后, 糖水的浓度增大, 为(a + m)/(b + m), 由(a + m)/(b+ m)>a/b, 与糖水变得更甜的直感完全一致。
例5. 正数a,b,c,A,B,C 满足条件a+A = b+B = c+C = k。求证:aB+bC+cA < k2。
先给出原试题给出的代数解法, 然后再与我们的几何解法比较。可以更好地领悟几何图形解法的妙处。
代数解法: 因为k3 = (a + A)(b + B)(c + C)
= abc + Abc + acB + ABc + abC + AbC + aBC + ABC
= abc + ABC + aB(c + C) + cA(b + B) + bC(a + A)
> aBk + bCk + cAk = k(aB + bC + cA)
又因为k > 0, 所以k2 > aB + bC + cA。即aB + bC + cA < k2。
不难见到, 完成以上代数法证明, 要求具备很好的因式分解的基本功。
几何证法: 利用我们给出的代数关系式的几何表示, 将k2看成边长为k 的正方形面积。先作一个边长为k 的正方形PQMN, 设PQ = b + B, QM = a + A。
若a ≤ C 令PN = C + c, MN = A + a, 在正方形PQMN 内, 如图23 完成面积为aB, bC, cA 的三个长方形, 三个未涂阴影的长方形面积之和恰为aB + bC + cA, 显然小于正方形PQMN 的面积k2。
若a > C, 如图24完成面积为aB, bC, cA 的三个长方形, 三个未涂阴影的长方形面积之和恰为aB + bC + cA, 显然也小于正方形PQMN 的面积k2。这个证法简单明快, 直观有趣, 小学生也可以理解。
例6. 已知a > b > 0, 求证: (a + b)2= (a − b)2+ 4ab。
解: 很容易用下面的几何图形(如图25) 加以证明。这个图中ABCD 是边长为a + b 的正方形, 它的面积(a + b)2等于中间的正方形的面积(a − b)2 与边上4 个面积为ab 的长方形的面积之和。
例7. 已知x > 0, 求证:x +1/x ≥ 2。
解: 其实, 结合图25仔细想一想, 可以用数形结合的方法来证明这个不等式。如图26, 因为x > 0, 所以1/x> 0 且x·1/x= 1 即图26 中的每个阴影长方形的面积都等于1。
正方形ABCD 的面积为(x +1/x)2, 这个面积显然不小于4 个面积等于1 的阴影长方形的总面积, 即(x +1/x)2≥ 4。两边开平方得x +1/x≥ 2 (等号在x =1/x= 1 时达到)。这个证法既简洁又直观! 精彩!
例8. 如图27 所示, 面积为13平方厘米、29平方厘米和34平方厘米的三张正方形纸片拼放在一起, 中间恰围成△ABC。求△ABC 的面积是多少平方厘米?
解: 注意到13 = 32+ 22, 29 = 52+ 22, 34 = 52+ 32。
如图28 作边长为5 厘米的正方形AMNP, 分成5×5 = 25 个1 平方厘米的正方形网格。根据勾股定理, 可知图28 中的AB, BC, CA 分别等于题图中3 个正方形的边长。因此△ABC 的面积可求。
事实上,△ABC 的面积= 5 × 5 − 1/2× 3 × 5 − 1/2× 2 × 5 − 1/2× 2 × 3= 9/5(平方厘米) 答: △ABC 的面积的面积为9.5 平方厘米。
例9. 若x>0, y>0, z>0。求证:√(x2− xy + y2 )+√(y2− yz + z2) >√(z2− zx + x2)。
解: 注意到x > 0, y > 0, z > 0,√(x2− xy + y2 )=√(x2+ y2 − 2xy cos 60◦)
表示以x,y 为边夹角为60◦的三角形的第三边。同理√(y2− yz + z2),√(y2− yz + z2)也有类似的几何意义。这样, 我们构作顶点为O 的四面体O-ABC, 使得∠AOB =∠BOC = ∠COA = 60◦, OA = x,OB = y, OC = z, 则有AB =√(x2− xy + y2 )，BC =√(y2− yz + z2);CA =√(z2− zx + x2);由△ABC 中, AB+BC > AC, 所以√(x2− xy + y2 )+√(y2− yz + z2) >√(z2− zx + x2)。
此法更是令人拍案叫绝!
例10. 直径为5 的圆中放入10 个点。求证, 其中必有两个点, 它们之间的距离小于2。
很容易看出这是个抽屉原则问题。只要将直径为5 的圆分为9 个区域, 10 个点中至少有两个点分布在同一区域。问题只要使每个区域中任二点距离都小于2 就可以了。
设想将圆九等分, 连接圆心与各分点, 成为九个相等的扇形。显然, 每个区域都不能保证任二点间的距离都小于2。这种设想失败。分析原因, 问题在于沿半径方向最长可达2.5, 所以我们要减少沿半径方向的长度, 另法建构抽屉。
为此, 先把圆等分为8 个扇形, 再以圆心O 为中心, 0.9 为半径画圆。这样构想出以这个小圆为一个抽屉, 8个被切扇形所余部分为另8 个抽屉, 共计9 个抽屉。小圆直径为1.8 < 2。剩下, 我们再检验截角曲边扇形ABCD 中任两点间的距离小于2。如图30, 弧AB <(5×3.2)/8= 2 所以AB < 2。
AD = BC = 2.5 − 0.9 = 1.6 < 2.
BD = AC=√(OA2+ OC2− 2 × OA × OC cos 45◦)=√(2.52+0.92−2×2.5× 0.9×√2/2)≤√3.91 <2.
可见, 曲边扇形ABCD 中任两点间的距离都小于2。
这样我们就构造了合于题设的九个抽屉。10 个点放在圆中, 至少有两个点落在同一个抽屉内, 其间的距离小于2。
我们从此例看到, 初步的构想, 是粗线条的, 大方向对, 方法不对, 也不会成功。要从可分成的九个抽屉的集合中, 选择合于题设条件的九个抽屉。所以, 构造其实是一种选择! 在这种选择中, 与个人的直觉经验、知识见闻、阅历深浅, 艺术修养等都很有关系。
我们看到的事物, 不管有意或无意, 都把它的形象留在潜意识中了。这叫记忆表像。所谓想象, 就是对头脑中的记忆表像进行加工改造, 创造出新的形象的思维过程。这个新形象称为想象表像。如果你构想的新形象过去有过, 这个想象表像叫做再造想象。如果你构想的新形象为过去所没见过的, 这个想象表像叫做创造想象。
由模拟联想到加工改造构造出一种模式、结构、程序、图式,是想象为思维插上了翅膀!对事物的分析综合, 要善于模拟联想。不光要精巧的技艺, 更需要思维大胆的想象!这样, 只有这样, 思维的构造才能变为改造世界能动的力量!
常见的数学思维方法(1):类化思维
常见的数学思维方法(2):配对思维
常见的数学思维方法(3):函数思维
常见的数学思维方法(4):空间思维
常见的数学思维方法(5):程序思维
常见的数学思维方法(6):整体思维
常见的数学思维方法(7):极端思维
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