微积分的本质是什么？|定理|微积分|微分|数学|f(x)

一

微积分的本质是什么？我给自己设定的要求是本段没有一个公式，而且中学生都能听得懂。

求一个直角三角形的高，可以通过底长和夹角来推算，但如果三角形是一个曲边的呢？再用加角和底边儿推算就会产生很大的误差。

那该怎么办呢？不妨曲边三角形分成三段，形成三个蓝色直角三角形的，再通过它们夹角和底长推算数三个小高度，这三个小高度就叫做“微分”。

然后，将这三个微分累积起来，就叫做“积分”，这个积分就是我们所求的曲边三角形的高度。

问题来了，这三个蓝色直角三角形的高度，其实是低于实际高度的，会有一个红色的小误差。

如何将这个误差消除呢？如果分成更多段，形成更多的蓝色直角三角形，那么这个红色的误差就会快速缩小。

如果分成无穷多段，形成无穷多个蓝色直角三角形，那这个红色的小误差就会消失。

所以说微积分的本质就是：通过无穷小来求总和。

这算不算史上最容易理解的微积分科普？

二

微积分的酝酿是在17世纪上半叶到17世纪末这半个世纪。

1608年伽利略第一架望远镜的制成，不仅引起了人们对天文学研究的高潮，而且还推动了光学的研究。

开普勒通过观测归纳出三条行星运动定律：

（1）行星运动的轨道是椭圆的，太阳位于该椭圆的一个焦点上。

（2）由太阳到行星的焦半径在相等的时间内扫过的面积相等。

（3）行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

最后一条定律是在1619年公布的，而从数学上的推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一。1638年伽利略《关于两门新科学的对话》出版，为动力学奠定了基础，促进人们开始对动力学概念与定理作出精确的数学描述。望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线和求曲线的切线，而炮弹的最大射程和求行星的轨道的近日点、远日点等涉及函数最大值、最小值等问题；而求曲线所围成的面积、曲线长、重心和引力计算也激发了人们的兴趣。

在17世纪中叶，几乎所有的科学大师都致力于未解决这些难题而寻求一种新的数学工具。正是为解决这些疑难问题，一门新的学科——微积分应运而生。

微积分的创立，归纳为处理以下几类问题：

（1）已知物体运动的路程和时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，已知加速度与速度，求任意时刻速度和路程。

（2）求曲线的切线，这是纯几何问题，但对科学应用具有重大意义，如透镜的设计、运动物体在运动轨迹上任一点的运动方向（即该点切线方向）等。

（3）求函数最大值、最小值，前面提到弹道射程问题、近日点、远日点等问题都属于这一类问题。

（4）求积问题，包括求曲线长、曲线所围面积、曲面所围体积等。

而这些问题的解决，原有的已经无能为力了，只有当变量引进数学，能描述运动过程的数学新工具——微积分的创立后，这些难题才得以解决。其中最重要的是速度和距离以及曲线的切线和曲线下的面积这两类问题。正是为了解决这两类问题，才有了牛顿和莱布尼茨各自独自创立了微积分。

三

说到微积分，我觉得这是我们接近世界本质，所迈出的第一步。

为什么这么说呢？因为，如果数学还停留在算个横平竖直、矩形三角的面积的话，那么离应用真的是差太远了。

数学是什么？

一个工具，如果说物理是在探究这个世界的一些规律和原理的话，那么数学就是物理的语言。

如果没有微积分，这个语言就几乎失去了价值。这个世界其实没有那么多棱角，连随便一块石头，都有风、水和岁月的侵蚀，来把棱角打磨。那么微积分就是打开了通向这个“圆滑”的世界的大门；除此之外，这个世界还是多变的，虽然说“你不可能踏入同一条河流两次”这样的观点太唯心，但是正是这样的思想告诉了我们一个道理：

这个世界变化太快。

而微积分给了我们去跟上变化的资本。

万变不离其宗，你怎么变，我都可以去积分积出来。

用哲学的角度看：

积分是看到了量变产生的质变。

微分是放大丝毫的变化，让你不被任何一个“平滑掉”的数据，蒙蔽双眼。

微积分，让我们有可能看清世界。

四

微分和积分的本质必须合起来讲，才有可能通俗易懂；要是分开来讲，反而变抽象了。

我们不妨以事物在时间中产生变化为例。积分相当于是指事物经历时间后产生的总变化量，微分则相当于指事物在每一个刹那的微小变化量。因此，积分显然是由微分累积而成的。所以这个道理其实只是一个非常简单的常识，可以归纳为一句话：

一段时间的总变化量，是由这段时间中的每个刹那的变化量累积而成的！

这是不是简单到跟废话没有差别？的确就是这么简单。

我们将总变化量切分成一份一份（由时间来衡量的话，就是一刹那一刹那）的变化量的过程叫做微分；而将一份一份的变化量累积出总变化量的过程叫做积分。

我们要特别注意到，这里有一个难点：

每个刹那的变化量，或者说每一份微分其实基本都是不同的，因为每个刹那的变化率在绝大多数情况下都不是均匀的（否则我们就不需要微积分了）。

就像我们开车时，由于每个刹那的实际速率其实都是不同的，导致每个刹那的位移量也有大小不同。

因此，我们就必须能找到办法来计算每一份微分，然后能通过微分来计算积分。这就是微积分所要完成的总任务。

微积分的本质，事实上彻底体现在一个数学公式，被称为“微积分基本定理”，又称为“牛顿-莱布尼兹公式”：

这个公式如果能够理解的话，其实就等于彻底理解了微积分思想的全部。剩下的就只是对微分与积分规则的技术性掌握了。既然是谈本质，我们这里就不谈技术性问题了。

这个公式涉及到两个函数，一个是f(x)，一个是F(x)。至于什么是函数，不懂的话得自己去自学，毕竟这属于初高中的知识，否则得通俗到从小学讲起了。

在这个公式中，F(x)可称为f(x)的一个原函数或者不定积分。F(x)在x点上的变化量，也即在x点时的微分，我们标记为dF(x)；它是在x点的变化率也即f(x)与该点发生的微小变化量dx的乘积，也即dF(x)＝f(x)dx。所以f(x)＝dF(x)/dx，因此f(x)又称为F(x)的导数函数。

假设有一个事物在运动，我们不妨将函数f(x)理解为记录该事物的速度关于时间的函数，而将F(x)理解为该事物的位移关于时间的函数。于是dF(x)＝f(x)dx的意思其实是指x刹那时的微小位移量，等于x刹那时的速率与该刹那时间的乘积。

如果初始时刻是a，而末了时刻是b，则时间的自变量x就从a变化到了b。于是F(b)－F(a)显然就是指从时刻a到时刻b，事物的位移量，也即f(x)在这个时间段的定积分。它是怎么计算出来的呢？它是从时刻a到时刻b的每一份微小位移（微分）累积而成的总位移量(积分)。

明白了上述道理后，我们会发现，如果我们掌握了计算微分以及积分的基本规则，我们也就有办法计算变化率不均匀事物在运动变化中的瞬间变化率(导数)，瞬间变化量(微分）以及积累的总变化量(积分）的根本办法。这显然就更加对应现实世界了。

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来源：数学与通识

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