碑漏：失传七百年的机械钟
不久前从央视4台 “远方的家” 播放的北京钟鼓楼展出 “碑漏” 得知，除日晷、铜壶滴漏、水运仪象台等计时仪器以外，我国还有另一项重要的古代发明创造。为此对博文 “机械钟：永不停息的自激振动” 应做些补遗。
据报导，碑漏作为计时仪器曾在唐、宋、金、元时期使用。南宋薛季宣著《浪语集》中称发明人为唐代僧人文诰。元代以后已失传七百年，无实物留存。据《元史·齐履谦传》记载：
“都城刻漏，旧以木为之，其形如碑，故曰'碑漏’，内设曲筒，铸铜为丸，自碑首转行而下，鸣铙以为节。”
2005 年北京钟鼓楼文保所与苏州古代天文计时仪器研究所合作，历时一年已将失传的碑漏仿制成功，为中国的科技发展史增添了新篇章[1]（图 1）。
图1 北京鼓楼重置碑漏（引自百度）
碑漏为木制的长方体，高 2.2 米，宽 1.4 米，形似石碑。内部安置 13 根铜管，自上而下按 “之” 字形排列（图 2）。最上端设投球孔通向第一根铜管。管内储存多个铜球，受机构控制在指定时刻依次落入下方铜管，经12 根铜管曲折下滚，每根管内滚动时间为 2 秒，历时 24 秒后坠落，敲击铜铙发出清脆响亮声音报时。同时牵动机构使下一个球自行出发，两球之间相隔 24 秒。150 个球滚完历时一小时，一昼夜需滚球 3600 个。
图2 碑漏内部的铜管（引自百度）
博文“机械钟：永不停息的自激振动”中已说明，各种计时仪器的运作均基于自激振动原理。碑漏也不例外，其恒定的能源来自重力，能量输入的调节由铜球在铜管内的运动实现。为具体分析此运动过程，设铜球的质量为 m，半径为 R，铜管相对水平轴的倾斜角为 α，接触点的摩擦力为 F（图 3），列写沿铜管中心轴 x 的动量定理：
图3 铜球在铜管内的受力图
均质球体的中心惯性矩为 2mR2/5，设铜球的角速度为 ω，列写其相对质心 O 的动量矩定理：
设铜球相对铜管作无滑动的纯滚动，其质心速度 v 与角速度 ω 满足 v = ωR 约束条件。从以上二式消去 F 和ω，导出铜球质心的加速度 a = dv/dt=(5/7)gsinα，即重力加速度沿 x 轴分量的 5/7 倍。铜球自管端从零速度开始以匀加速度 a 向下滚动，设管长为 l，到达末端 x=l 所费时间 ts 由 x=at2/2导出，得到
可见滚动时间 ts 仅取决于铜管的长度和倾斜角，与铜球的质量和半径无关。任何不同实心球在管内滚完全程的时间均完全相同。从图片目测，取 α = 7.50，l = 1.5 m 代入上式，算出 ts=1.8 秒。考虑铜球在末端处发生撞击和落入下根铜管所需时间，增加 0.2 秒，得出铜球在每根管内的滚动时间 2 秒，满足设计要求。
以铜球质心的坐标x和速度 v = dx/dt 组成相平面，作出铜球在管内运动的相轨迹。将速度为零的出发点作为相平面的原点。将 dv/dt = gsinα 与 dx/dt = v 二式相除消去 dt，化作 vdv = (gsinα)dx，积分后得到相轨迹v2 = (2gsinα)x 为抛物线。在铜管末端 x = l 处，铜球与挡板相撞。设为完全塑性碰撞，则速度突变为零。成为自由落体落入下根管的起点。相点在 A 点沿与纵轴平行的直线向下与横轴相交于 B 点，沿横轴回到下根管的原点。然后周而复始，在下根管内再次出发，重复上述过程。相轨迹封闭，形成自激振动的极限环（图4）。
图4 铜球运动在相平面内形成的极限环
以上对碑漏运动的相轨迹分析也适用于分段进行的类似机械钟。博文“机械钟：永不停息的自激振动”讨论过的水运仪象台即具有相同的相轨迹（图 5）。设枢轮的转角为 ϕ，角速度为 ω = dϕ/dt，作相平面 (ϕ, ω)。当受水壶充满水时，产生重力矩使原来静止的枢轮开始转动。因转角变化范围很小，可忽略力臂的变化，重力矩和轴承摩擦力矩均为常值，枢轮作匀加速运动。相点从原点出发，沿抛物线上行，至 ϕ= ϕ0 时杠杆装置将枢轮锁定，转速突降为零。受水壶再次充水，开始下个回合的运动。相轨迹封闭形成与图4相同的极限环。
图5 水运仪象台的计时仪器
参考文献：
[1] 毛时前. 我国失传七百多年的计时仪器——碑漏仿制成功.《中国计量》,2006,(2):48