生活在三维空间,如何思考九维空间的事? | 量子群英传

撰文 | 张天蓉

责编 | 宁    茜 吕浩然

有人认为,弦论“最邪乎”的一点就是多维空间。我们身处的空间明明是3维的,干嘛要多此一举,加上这么多的额外维度?然后,为了说明这些看不见、摸不着的维度,又“编”出一套什么“紧致化”“卷曲化”之类的说辞,来解释它们。

上面的说法当然是外行人强加给弦论学家的,这是因为外行人不了解弦论发展过程中的许多细节。所以,现在我们就来介绍一下弦论“额外维度”这个想法的来龙去脉。

01
弦论的时间空间

如果不算时间,最早的玻色弦论(Bosonic string theory)的空间是25维、超弦论(Superstring Theory)是9维、M理论(M theory)是10维。这些数字其实是有来由的。为何刚好选中了25、9、10这几个数值呢?那是因为,只有当空间是这些维数时,我们才能得到自洽的理论,否则便会出现一些奇怪的“反常”结果。诸如概率大于1、负概率、光子质量不为零等等。

一个物理理论,决定了空间的维度数目,这的确是前所未有的。弦论之前的理论物理,无论是经典、量子或相对论,对空间的维度都没有任何限制。这些理论固然毫无疑问地默认“三维空间”,但就理论本身而言,搬到多少维的空间中也是照样成立的。

说奇怪也不奇怪,基础物理学的目的是为了解释世界,回答一个又一个的“为什么”。这种解释是一层一层逐步展开的:经典物理解释的是人人都可见的宏观现象;量子物理解释一般人不了解,但实验室能观测到的微观世界;狭义相对论解释高速运动;广义相对论则解释大尺度的宇观世界。

到了弦论这一层次,除了统一引力和量子的目的之外,物理学家们也希望理论能解释一些更为基本的事实。例如:质量的来源,电荷的来源等等。其中也包括“时间是什么?”“空间是什么?”这些古老的疑问,以及“空间为什么是三维的?”“时间为什么是一维的?”,这种前辈物理学家们可能想都没想过的问题。

02
限制维度以使光子质量为零

根据弦论模型,弦的不同振动产生不同的粒子。例如:以A方式振动产生夸克,以B方式振动产生中微子……弦的振动产生了现有理论中的“基本粒子”,基本粒子又构成了世界万物。

图1:弦不同振动构成万物

特别要指出的是,弦论认为:引力子由闭弦的运动产生,光子则由开弦的振动产生。这两种粒子的静止质量都为零,而弦论中空间的维度数目,便可以由“光子静止质量为零”这一点导出。

也就是说,光子质量为0,在弦论之前的物理中是一个既定事实,而在弦论中是理论推导的结论。

光子的静止质量,即最小质量,由光子可能有的振动模式决定:

光子静止质量 = 光子弦基态能 + 光子弦振动能。

图2:谐振子的基态能和振动能

基态能是最低的能量态,是一种“量子涨落”,与“振动能”不是一码事。

图2给出的是谐振子的基态能和振动能示意图。如果从经典物理的观点,基态能量应该为0,Ec=0,谐振子静止在碗中心的最低处,见图2a。然而,如果考虑量子规律,遵循不确定性原理,每个基态的能量都不可能为0,对所有可能的振动模式求和后便是基于“量子涨落”的基态能,谐振子不可能完全静止,见图2b:Eq=S(hw/2)。而振动能表征的是某种激发态(En= hwn),如图2c。

图3:D维空间中光子弦的振动

现在我们考虑对应于光子开弦的能量。与图2所示谐振子情况类似,只是光子是D维空间的一条开弦,它的振动情况显示在图3a中。

首先考虑最早的玻色弦论。图3a中,假设在D维空间中的光子其传播方向如红色箭头所示。因为光子的振动是横波,所以在传播方向上没有振动。因此,可能的振动发生在除了传播方向之外的其它(D-1)维空间中。对每一维空间,振动可以取无穷多种(1+2+3+……)模式,如图3b所示。可能的总模式数目:

M=(D-1)×(1+2+3+…)=(D-1)×S自然数

总模式数决定了光子基态的能量,再加上激发态的振动能(根据弦论的光子模型,这个数值是2)。因此,光子最小质量:

m0=(D-1)×S自然数+2

这里出现了一个奇怪的问题:为了使得光子最小质量m0=0,可能的模式数目M要等于-2。这看起来是不可能的,因为S自然数(简写为S)是所有的自然数之和,应该是个无穷大的数值。

因此,我们这儿插一段数学:研究一下S=1+2+3+…,即所有自然数之和。

其实,我们在中学时就知道了,这个级数不收敛,趋于无穷,有啥可研究的呢?不过,对于这个问题,数学家们绞尽了脑汁。而我们只需要理解一下结果就好了,何乐而不为呢?先讲一个故事。

03
拉马努金的故事

拉马努金(Ramanujan,1887-1920)是一位印度数学家。听听数学家们对他的评价:出身普通,自学成才,未经训练,知识不多,依赖直觉,成果空前。

拉马努金只迷恋数学,在其他科目的考试中经常不及格。也没有正规的数学老师,直到被英国著名数学家戈弗雷·哈代(Godfrey Hardy,1877-1947)发掘。用哈代的话来说,拉马努金“对现代欧洲数学家的成果完全无知”“就是个接受了一半教育的印度人。”

1913年的拉马努金,穷困潦倒、疾病缠身,却做了很多数学研究。他致信剑桥大学的哈代,提及了一大堆他所发现的数学公式。哈代带着困惑检验了这个印度小职员的研究成果,发现了好几个令他吃惊的玩意儿。他向拉马努金发出了一封到剑桥大学的邀请函。于是,拉马努金离开妻子到剑桥待了近6年。之后因病返回印度,但不久便去世了,只活了32岁。

拉马努金惯以直觉导出公式,不爱作证明。据说他短短的生命中给出了3000多个公式,平均每年100个。他的理论往往被证明是对的。其所猜测的公式还启发了几位菲尔兹奖获得者的工作。

在拉马努金致哈代的信中,就包括了自然数求和的问题。看看他的惊人答案:从1到无穷大的自然数之和,等于(-1/12)。

下面是拉马努金有关这个级数的笔记:

图4:拉马努金手稿

拉马努金对自然数无穷级数的求和给出了两种方法,一种极为不严格,一种极为严格。上面笔记中草草写下了不严格的理解方式。

哈代读信后的反应是“此人不是疯子便是天才!”。但哈代对这个自然数求和的结论并不感觉惊讶和奇怪,因为早在18世纪的瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)对此种发散级数就有所研究,后来的黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826-1866)也已经用他的ζ函数,对这个自然数求和得到了同样的、更为严格的结果。

04
计算自然数之和

拉马努金对(-1/12),有一个不严谨也不靠谱的“证明”方法,就是他写到上面笔记中的方法。如今网上流传的与其大同小异。

01
最简单的“理解”方法

将所有自然数之和记作S 。

S=1+2+3+4+5+6+……

-4S=-4-8-12-16-20-24……

上面两个等式相加:

-3S=1-2+3-4+5-6+……

然后,拉马努金利用函数1/(1+x)2的泰勒级数展开来计算上面的级数

1/(1+x)2=1-2x+3x2–4x3+5x4–6x5+……

最后,设定x=1,便得到:

-3S=1/(1+1)2=1/4

由此得到S=-1/12

拉马努金上面的“证明”是不可取的,因为那种“错位加减”不能用于发散级数,不同的错位加减,会导致不同的结果。但拉马努金很聪明,给出简单理解的同时也给出了严格的证明,那是与不同的求和定义有关。

02
“和”的不同定义

什么意思呢?求和不就是相加吗?

是的。但我们通常理解为正确的传统求和定义,被称为柯西(Cauchy)的“求和”。这个定义严格而又符合常理,只是不能处理发散的无穷级数。数学家们就想:是否可以靠改变求和的定义来给无穷级数一个有意义的数值?为此数学家们定义了塞萨罗(Cesaro)求和、阿贝尔(Abel)求和、拉马努金求和等。其中最简单的Cesaro求和,是用取“和的平均值”的方法。例如下面级数:

1–1+1–1+1–1+1+……

这个级数是不收敛的,因为结果不趋于一个固定数,而是以相等的概率于0、1两个数之间摇摆。根据Cesaro求和,可以把结果定义为1/2,尽管不是通常意义下的(柯西和),但却也容易直观理解,因为1/2是1和0的平均值。

如果和的平均值也仍然不收敛的话,有些人就用“和的平均值”的平均值来定义,还可以进一步以此类推下去;或者用别的方法来定义“和”。据说拉马努金就提出了一个求和方法,非常复杂难懂。我们就跳过去不介绍了。

03
解析延拓方法

还有另外一种方法处理发散的无穷级数:解析延拓。意思就是说将函数的定义域连续光滑地扩大到原来不能应用的数域。

如何用解析延拓来解决自然数求和问题?还得从欧拉的研究说起。

远在拉马努金写信给哈代的一百多年之前,欧拉就研究了自然数求和的问题,并且也用不怎么靠谱的“错位加减”方法,得出了(-1/12)的结论。他在证明过程中,用了一个级数展开式:

欧拉给出的这个ζ函数只定义在当s为正实数的情况。后来,黎曼研究该级数时,他首先把定义域扩展到了实部大于1的复数。然后黎曼证明了一个函数方程:

其中的Γ(n)是Γ函数:Γ(n)=(n-1)!。

用这个方程,黎曼将其ζ函数解析延拓到了实部小于1的情况。例如,如果在方程中令s=-1,于是,等式右边变成:Γ(1-s)=Γ(2)=1,ζ(1-s)=ζ(2)= p2/6,……

最后便能得到:ζ(-1)=-1/12。

04
洛朗级数展开

上面的方法,包括重新定义“求和”及解析延拓,实际上计算出来的结果,都可以说已经不是原来意义上的“自然数之和”了。不得不承认,这个(-1/12)的确与自然数之和有关系。但是,较劲的人仍然心存疑惑:原来的无穷大躲到哪里去了呢?

因此,我们介绍另一种洛朗级数展开的方法。

泰勒展开将函数展开为幂级数(幂次包含0和正整数)。有时无法把函数表示为泰勒级数时,也许可以展开成洛朗级数(Laurent series)。洛朗级数是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的正项,也包含了负数次数的项,如下所示:

例如,对自然数求和公式:

我们考虑复变函数:

在e的零点附近的洛朗展开:

所以,-1/12的结果不是莫名其妙来的,是e的零点附近的洛朗展开中的零阶项。可以如此理解:所有自然数的和是无穷大,但趋向这个无穷大时有其渐进性质(1/e2),除掉e趋于零时的发散项和高阶项,只留下与e无关的,便得到(-1/12)了。这个结果也符合物理中重整化的思想。

05
回到维度计算

回到利用光子最小质量为0来计算维度的问题。

玻色弦论中,光子最小质量m0=(D-1)×S自然数+2,将S自然数=-1/12代入,并令m0=0,可以解出D=25。因此,玻色弦论需要25维的空间才能自洽。

如果是超弦论,除了正常的普通空间之外,还有超空间(Hyperspace)以及其上的格拉斯曼数(Grassmann numbers)空间(对此不作更多解释,因为已经大大超出了科普的范围)。

因为三类空间(普通空间、超空间、格拉斯曼数空间)的存在,光子对应的超弦振动基态能量,变成原来的三倍,从光子最小质量m0=3×(D-1)×S自然数+2=-3×(D-1)/12+2=0,得到D=9。

后来的m理论,又因为统一5个超弦理论及超引力理论的原因而将空间维数增加到了10维。

所以你看,各种弦论的空间维度,也不是凭空想象的,还是有理论依据!

制版编辑 | Morgan
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