​初中奥数精讲——第25讲 最值问题

本讲适用于初一、初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

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一、知识点解析

1. 求某个量，或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题。

2. 解决最值问题的基本方法有

（1）运用枚举法求解。

（2）利用配方法与非负数的性质求解。

（3）运用不等式（组）逼近求解。

（4）借用几何中的不等量性质、定理等。

这部分主要考察学生的对最值问题的了解及掌握，这部分属于代数部分的综合知识，这部分需要对整数、因式分解、不等式、几何方面有足够的知识了解，题型变化多，要夯实基础，才能保证在最值问题的学习上赶超别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1 （“五羊杯”数学竞赛题）

多项式

的最小值为（            ）。

A． 4            B. 5                  C. 16            D. 25

例2 （全国初中数学联赛试题）

若a、b、c、d是整数，b是正整数，且满足b+c=d，c+d=a，a+b=c，那么a+b+c+d的最大值是（            ）。

例3

a、b、c都是大于20的正整数，它们中有一个含有奇数个正约数，另两个都恰有三个正约数，又a+b=c，则满足上述条件的c的最小值是________。

例4 （美国数学邀请赛试题）

求满足下述条件的最小正整数n，对这个n，有唯一的正整数k，满足

例5 （江苏省数学竞赛题）

某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台。已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称	空调器	彩电	冰箱
工时	1/2	1/3	1/4
产值（千元）	4	3	2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？

例6

求一个三位数，使它与它的各位数字之和的比值最小。

例7 设x1，x2，x3，…，x9均为正整数，且x1<x2<…< x9，x1 + x2 +…+x9=220，则x9 - x1的最小值是多少？

例8 （湖北省数学竞赛题）

某工程车从仓库装上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根。已知工程车每次至多只能运送电线杆4根，要求完成运算18根的任务，并返回仓库。若工程车行驶每千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计），每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用。