每日一题370：格林公式的逆向应用与二重积分的三种计算方法
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习370：计算二重积分
其中 D 是以 , , 为顶点的三角形闭域.
【注1】先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
【注2】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
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练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习370：计算二重积分
其中 D 是以 , , 为顶点的三角形闭域.
【参考解答】：【思路一】 由于被积函数关于 变量为不可积函数，故考虑先对 积分，再对 积分的累次积分次序，故有
于是得
【思路二】 积分区域由极坐标变量可以描述为
故由二重积分的极坐标计算公式，得
【思路三】 令 , ，则
则由格林公式，得
【注1】格林公式：设区域 是由分段光滑正向曲线 围成，函数 , 在 上具有连续一阶偏导数，则有
该公式称为格林公式. 我们通常的应用习惯于用来计算对坐标的曲线积分，即从左边到右边！这样一般明确有 的函数表达式和格林公式的三个条件，即封闭曲线、正向、偏导数连续。既然作为一个等式，同样可以由右边到左边，即基于该公式也可以利用曲线积分来计算二重积分 。只不过这个时候需要构造 函数和选取封闭曲线及方向. 封闭曲线与曲线方向一般就可以直接取为二重积分积分区域的边界曲线，并且方向基于“左手法则”确定为正向即可，而 函数的选取具有多样性，只要满足
即可. 当然，也要保证在选取的积分曲线上对坐标的曲线积分容易计算. 例如可以令
同样有
记 ，则
由对坐标的曲线积分的直积计算法，有
故结论一致.
【注2】 高斯公式、斯托克斯公式以及两类曲线、曲面积分互相转换公式的逆向应用，各类积分对称性在计算中的应用思路探索，可以参见在线课程：专题教学：积分不等式证明和对面积的曲面积分计算，点击直接进入！
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