“有温度的数学”——“学”与“教”的艺术

“有温度的数学”——“学”与“教”的艺术

小数点儿5255

回想起去年上半年近三个月的居家线上教学,老师们都发现散点知识表面推进,深入理解难以抵达,总有隔靴搔痒之困。教师无法组织操作活动和思维的深度互动,很难同步看见学生真实的学习痕迹。这也正好质疑了“学为中心”流派的有效性,抛开线上教学学生不能有效合作互动,就是在当下的一些数学课上,课前一张学习单,课堂上,四人小组内轮流讲解。教师象征性地抛几个问题追问一下就结束了,老师觉得这样的课很好上,而且理念新,“符合以学为中心的要求”,如果教真的退场,学何以至深呢?。一个是看不见“学”,“教”不上手。一个是看得见“学”,却看不透“学”,“教”不到位。那么以学为中心的数学课堂,教该怎样入场呢?

一、“教”在设计中,让“学”的内容更精粹

1设计主问题,以一个问题覆盖多个主题

从某种意义上说,“教什么”比“怎么教”更重要。主问题的设计直接影响学生学习的内容、学习的进程和学习的品质。主问题首先要有大空间、有适度挑战性,在绝大多数学生的最近发展区。主问题的分析与解答还要便于学生用自己的方式表达,满足不同学生的个性化思考。例如,我执教《用字母表示数》一课,设计了一个主问题:丁丁每天坚持往储蓄罐里存钱,我们帮丁丁记个账。第1天的钱数是2元,第2天是4元,第3天是6元。(PPT依次出现8、10、12、14、16……)(如图1)1天、2天、3天……天数在不断变化,每天的钱数呢?你准备怎样记账?比谁记得准、比谁方法好?先独立思考,再在小组里交流。“比谁记得准,比谁方法好?”这个大问题很开放,也很有挑战性,不同思维水平的儿童都能自由表达自己的数学语言。教师经过巡视发现学生主要有以下几种想法(如图2):从文字叙述到列表呈现,再到用两个不同的字母,最终呈现用n×2表示数,对比PPT上满屏的数,儿童感受到一种视觉和思维的冲击,初步感悟到可以用字母概括一组变化的数,感悟含有字母的式子不仅可以表示数,还可以表述数量关系。此外,还自然渗透了函数思想。用最少的素材,努力覆盖多个主题,思维含量特别大。

2设计动手做,从一个活动挺进深度理解

没有“抽象的儿童”,没有抽象的儿童数学学习。儿童的数学学习在身体、心智和环境三者构成的认知系统中自由生成、充分展开、自觉内化。教师应精心设计动手做,带领学生开展具身体验,帮助学生获得数学理解与知识应用。这个道理老师们都懂,但是很多青年教师都很怕上有动手操作的课。一大堆操作材料,容易杂乱无序。汇报的环节也很难组织,在学生一边演示操作一边汇报的过程中,暴露出的关键性问题一滑就过去了,得不到全体学生的高度关注。这就体现出教师“教”的必要性,高效组织操作活动,让一个活动发挥出最大的学习效益。教师引导学生“做中思”,通过观察、操作、交流,启发思维,推进对数学知识的认识,促进深度理解。比如教学《正方体展开图》,我请学生从网上购买有磁性的正方形玩具,名叫磁力片。学生把它带来玩了近一节课。先围成一个正方体,然后把6个正方形展开。围、展开、再围、再展开……在一次次把玩中,加深对立体空间的感知。只有积累了厚实的操作经验,空间想象能力才有建立的可能。玩了20分钟后,全班收起磁力片,静默1分钟。安静的课堂上,学生在整理思绪。接着,我摆出5幅平面图,进行头脑风暴:(1)这些平面图形都能围成正方体吗?如果可以围,是否存在规律?(2)哪些图比较复杂?如果你觉得有困难,可以拿出磁力片进行验证。(3)自由组成学习小组,展开组内交流。孩子们纷纷离开位置,自由组成学习小组。有的小组在空中比划,描述发现的规律。这些小组的学生学习力都很强,我介入的问题是“为什么存在这样的规律?”有的小组一边摆,一边画出展开图。我介入的问题是“老师这里并没有画出所有的展开图情况,你们能根据这几幅展开图进行推想吗?”有的小组用磁力片在逐个验证,这几个学生学习能力较弱,我鼓励他们“能不能摆完磁力片围了围之后,再闭着眼睛想象一下?”课堂的最后,我出示一个正方体展开图,指定一个面是下面,请学生确定其他面的位置。先想象,再验证。

3设计练习题,让一道好题承载综合提升

单一而机械的“题海战术”浪费儿童生命。我们越来越认同“以少胜多”的练习设计。一道趣味性强、综合性强、活动性强、人文性强的数学练习越来越受到学生的欢迎,因为数学学科知识的壁垒被打破,学生在做数学题的过程中调用的知识经验是丰富的,感受到的练习情绪是有意思的。我们提倡,以一当十,宁舍十道庸常题,不忘设计一道好题。例如,下面这道题,融进了万以内数的认识、大小比较,有意识培养学生的数感和量感,蕴含着丰富的数学思维。同时自然地渗透了品德教育,引导学生关注生活世界、做一个有责任感的小公民。

再比如一年级的练习《有趣的数学画》。亲爱的小朋友,请你读准拼音,认真阅读,尽情地创作吧!第一步:拿一张A4纸,剪下一个最大的正方形做画纸。第二步:在画纸的正中间画一个图形,它是什么图形呢?3个小朋友正在做介绍呢!小美说:“这个图形不是曲线围成的。”小华说:“它是用圆柱积木印出的圆形。”小东说:“这是由11根小棒去掉8根后围成的图形。”3人中只有1人说了假话,你知道是什么图形吗?画一画吧!第三步:想一想,1捆小棒最多可以摆几个这样的图形?把它们一个个画出来。第四步:想象画画,把纸上的图形变成一幅有趣的画,比一比谁最有创意。这个活泼生动的数学练习立足学科综合的视角,融合了文本阅读、退位减法计算、简单的推理、动手操作、创意儿童画。培养儿童用数学眼光关注生活、用数学思维解决生活问题的习惯。充分发挥学生的多元智能,让每一个学生都能有所表现。

二、“教”在互动中,让“学”的过程更进阶

如果缺失与学习同伴的深层互动,学生很容易拘囿于自己的认识,其思维成果的数量和质量都很有限。教师运用“刨根究底”“煽风点火”的策略组织课堂互动,看见学习过程的真实痕迹,看见个体思维的生长和群体智能的激发。

1刨根究底——“为什么不是那样?”

学习,不仅要知其然,还要知其所以然。不妨跳出该知识点,横跨到与之相近、相似的其他知识点或者未知地带,对比分析“为什么不是那样?”,从而凸显该知识点的本质和原理。例如,我教学《分解质因数》。学生都能够顺利地掌握分解质因数的方法,总觉得学生的思维少了一点激烈的碰撞,能否与教材文本来一次互动?课堂接近尾声时,我追问:为什么教材只教给我们如何把一个合数用质数相乘的形式进行分解?有质因数的概念,怎么没有质加数、质减数、质除数的概念?这个问题抛出后,所有的学生都愣住了。过了一会,有人说可能到初中会学到吧?有人提议干嘛等到初中呢,不如现在想想看。通过举例,我们发现把一个合数分解为几个质数相加、连减、连除的形式,算式不唯一。只有分解为质数相乘的形式,算式才是唯一的。学生还提出,在问题解决的过程中存在大量与质因数有关的实际问题,所以质因数是最有用的。至此,学生对分解质因数的认识超越了“会分解质因数”的技能层面,变得更为立体和丰满。很多学生对数的结构产生了浓厚的兴趣,寻找相关的数学科普读物阅读。

2煽风点火——“他的观点一定对吗?”

不少学生在课外提前学过《分数的意义》,知道单位“1”的概念,也会做练习题。是否真正获得数学理解了呢?笔者在课前学习单上抛出问题:为什么单位“1”的1要加双引号?课堂上的讨论非常热烈。陈正非:“因为单位1是表达一份或几份的数,不仅仅只是一份,所以要加双引号。”梅书颖:“是的,这个1是平均分成若干份,而不是1份。”很显然,这两个学生把单位“1”和分数的意义混为一谈了。是立刻指出问题,还是暂时不说?此时教师介入为时过早,还是静观其变。郭予萱:“我认为单位“1”就是指一份量,1加上引号是因为它不是代表数字1,而是一份量。”郭予萱的观点立刻获得支持。尹叶馨:“单位“1”是最原始的一份,其他的数是在单位“1”的基础上增加的。”魏辰睿:“单位“1”是最原始的一份,其他的数是在单位“1”的基础上变形的。”王逊娴:“我觉得单位“1”是设定了一个标准,不管“1”的单位是什么,只取一个单位的量,比如“1”的单位是米,那么就是1米。”我瞄准时机煽风点火:“单位‘1’表示一份量到底是什么意思?他们的观点一定对吗?”有同学说:“单位‘1’表示一份的话,把单位‘1’平均分成若干份,取其中的一份或几份的数叫分数。两个都是一份,搞不清了。”确实,学生所说的“最原始的一份”,其实是想表达“它一个计量标准”的意思。而其他学生对于“一份”的理解,更多是一个分数单位的意思。笔者再次煽风点火:“站在小朋友的角度,两个‘一份’确实有点容易混淆,难道就没有更具体、更让人一听就明白的解释了吗?”胡鹏霖:“因为它不是单纯意义上的数字1,它代表的可能是一条路,一个工程等等,是不确切的,因此要加上引号以示区别。”陆一茜:“单位‘1’可以表示许多东西,区别于自然数1,所以要加双引号。”孙雨馨:“单位“1”除了可以表示自然数1表示的意义之外,还可以表示许多物体。”

3水乳交融——“人人都想讲,个个都好学。”

教师要教会学生开展生生互动的方法,重视培养学生的自组织能力,“人人都想讲,个个想接招”。首先,小组内负责任的交流,这一点尤为重要。当下的数学课离不开小组交流,组长带领组员的组内学习坚决不能流于形式,坚决抵制假探究、假交流、假合作!越是以学为中心,以小组学习为载体的课堂,教师其实越需要审时度势,随时随地洞察瞬息万变的课堂走向。1号组内发生了什么?组长的组织是否过于强势?有没有关照比较弱的那个组员?2号组内的想法有没有通过交流获得增值?3号组现场提出的问题,在什么时机呈现?在对各小组的巡视中,我应该相机做哪些介入……这样极具生成性的课堂,教师怎么可能轻松?它对教师的“教”提出了更高的要求和挑战。其次,小老师自组织的全班交流也应该有进阶。台上的小老师不像过去那样把自己的想法一讲到底,而是像主持人那样调动台下同学的参与热情,“我和他的想法有什么不一样?” “谁有观点谁亮剑!” “谁来接着讲?”“谁能总结一下?”等。台上台下高质量互动,个体思维不断被点燃、冲撞、转变、吸纳,变得更加有深度、有力量。在全班互动的过程中,学生已经掌握得比较好的,教师少讲或不讲;学生的理解存在偏差,教师要做凸显和强化;学生集体卡壳陷入困顿,教师要适时点拨和引导。教师还要适时追问,使学生感悟数学知识间内在联系、发现数学规律的模型、初步感悟基本的数学思想方法。当一个班级的学生经过长期的训练,就能知晓课堂互动的方式和节奏。孩子们不会因为没有被请到回答一个简单的问题而遗憾,因为他们知道在什么时机可以“亮大招”:是众人皆醉我独醒的“我有质疑”;是积跬步以至千里的“我有提醒”;是稻花香里说丰年的“我来总结”;是山外青山楼外楼的“我还知道”……在这样美好的课堂里,老师教着教着,已然是一个长大的儿童了。教着教着,“教”和“学”已然水乳交融了。

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