神奇數字與直角三角形內接正方形之關係

神奇數字與直角三角形內接正方形之關係

上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:142857被稱為“神奇數字”,其輪換循環性質,乃其他數字組所無者也。若一直角三角形兩直角邊之和為 7,其積為 1 至 7,則 1/7至1 可以以其內接正方形之邊長表示。

關鍵詞:輪換循環、神奇數字、循環節、循環小數

第 1 節  以 7 為分母之真分數及其循環小數

很多人都知道以 7 為分母之真分數可化成循環小數如下:

= 0.142857  142857  142857...               循環節:142857

= 0.285714  285714 285714...               循環節:285714

= 0.428571  428571 428571...               循環節:428571

= 0.571428  571428 571428...              循環節:571428

= 0.714285  714285 714285...               循環節:714285

= 0.857142  857142 857142...               循環節:857142

寫成乘法:

1 ×

=

= 0.142857 ...           循環節:1× 142857 = 142857

2 ×

=

= 0.285714 ...           循環節:2× 142857 = 285714

3 ×

=

= 0.428571...            循環節:3× 142857 = 428571

4 ×

=

= 0.571428...           循環節:4× 142857 = 571428

5 ×

=

= 0.714285...            循環節:5× 142857 = 714285

6 ×

=

= 0.857142...            循環節:6× 142857 = 857142

7 ×

=

= 1 = 0.999999…     循環節:7 × 142857 = 999999

從最後一式可知 0.9 循環小數 = 1,此証明非常獨特。

現代有人稱

之循環節142857 為“神奇數字”,無論如何,其輪換循環性質,乃其他數字組所無。

將上列之分數重排列一次如下:

= 0.142857  142857  142857...          循環節 1 置後得:

= 0.428571  428571 428571...          循環節 4 置後得:

= 0.285714  285714 285714...          循環節 2 置後得:

= 0.857142  857142 857142...          循環節 8 置後得:

= 0.571428  571428 571428...          循環節 5 置後得:

= 0.714285  714285 714285...          循環節 7 置後得

注意分子之次序:1、3、2、6、4、5,則循環節輪換。

以下為分子循環節圖:

有圈之數目字是為分子,例如 1,指

,則其循環節依逆時針方向為 142857;3,指

,則其循環節依逆時針方向為 428571;2,指

,則其循環節為 285714,其餘類推。

第 2 節  以 7 為分母之真分數及其循環小數

(1)

設有一分數

,若 ab = 1,a + b = 7,則

=

= 0.142857…,見上節。

即可知 b = 7 – a,代入 ab = 1 得  a(7 – a) = 1,7aa2 = 1,a2 –7a + 1 = 0,依公式解 a 得:

a =

(7 – √(49 – 4) =

(7 – √45),即可得 b =

(7 + √45)。

ab 是為共軛無理數。以下 ab 之值多為此類數。

(2)

ab = 2,a + b = 7,則

=

= 0.285714...,

b = 7 – a

代入 ab = 2 得 a(7 – a) = 2,7aa2 = 2,a2 –7a + 2 = 0,依公式解得:

a =

(7 – √(49 – 8) =

(7 – √41),即可得 b =

(7 + √41)。

(3)

ab = 3,a + b = 7,則

=

= 0.428571...,

b = 7 – a

代入 ab = 3 得 a(7 – a) = 3,7aa2 = 3,a2 –7a + 3 = 0,依公式解得:

a =

(7 – √(49 – 12) =

(7 – √37),即可得 b =

(7 + √37)。

(4)

ab = 4,a + b = 7,則

=

= 0.571428...,

b = 7 – a

代入 ab = 4 得 a(7 – a) = 4,7aa2 = 4,a2 –7a + 4 = 0,依公式解得:

a =

(7 – √(49 – 16) =

(7 – √33),即可得 b =

(7 + √33)。

(5)

ab = 5,a + b = 7,則

=

= 0.714285...,

b = 7 – a

代入 ab = 5 得 a(7 – a) = 5,7aa2 = 5,a2 –7a + 5 = 0,依公式解得:

a =

(7 – √(49 – 20) =

(7 – √29),即可得 b =

(7 + √29)。

(6)

ab = 6,a + b = 7,則

=

= 0.857142...,

b = 7 – a

代入 ab = 6 得 a(7 – a) = 6,7aa2 = 6,a2 –7a + 6 = 0,依公式解得:

a =

(7 – √(49 – 24) =

(7 – √25) =

(7 – 5) = 1,

即可得 b =

(7 + √25) =

(7 + 5) = 6。

本例之 ab 皆為整數。

(7)

ab = 7,a + b = 7,則

=

=1 = 0.999999…,

b = 7 – a

代入 ab = 7 得 a(7 – a) = 7,7aa2 = 7,a2 –7a + 7 = 0,依公式解得:

a =

(7 – √(49 – 28) =

(7 – √21),即可得 b =

(7 + √21)。

以下為一般情況:

設有一分數

,若 ab = xx 為整數。又a + b = 7,則

=

b = 7 – a

代入 ab = xa(7 – a) = x,7aa2 = xa2 – 7a + x = 0,依公式解得:

a =

[7 – √(49 – 4x)] ,即可得 b =

[7 + √(49 – 4x)]。

ab 為實數,則 49 – 4x >0,49 > 4xx ≦12。

x = 12,則 a =

[7 – √(49 – 4 × 12)] =

× (7 – 1) = 3;

b =

[7 + √(49 – 4 × 12)] =

× (7 + 1) = 4。

ab = 12,則 ab 亦為整數。

第 3 節  以直角邊和為7 之直角Δ及其內容正方形

設一直角三角形ABC,CA =a,CB = b,EFGC 為其內接正方形﹝見下圖﹞,設 x為正方形之一邊,於是 GA= ax ,BE = bx ,據相似三角形對應邊之比相等,可得:

=

,即:

=

(ax)(bx) = x2

abaxbx + x2 = x2

ab = x(a+ b)

x =

,此即內接正方形一邊之長。

若以作圖法求正方形之一邊,以ab之長分別為一直角三角之句與股,即a = AC,b = BC,ÐC為直角,自ÐC畫一角平分線CF交弦AB於F,即ÐFCA為45o。自F畫一垂直線GF垂直 AC或一平行線EF平行AC,則EF或FG即為所求之正方形之一邊,如下圖所示﹝EFGC 即為所求之正方形﹞。

或先作一任意正方形PQRC,連其對角線CQ及延長至 F,依上述方法作垂直線GF及作平行線EF,即可得內接正方形EFGC。

以下為直角三角形之內接正方形圖:

若一直角三角形兩直角邊之和為 7,其積為 1 至 7,則

至 1 可以以其內接正方形之邊長表示。

(1)  邊長為

之內接正方形:

(2)  邊長為

之內接正方形:

(3)  邊長為

之內接正方形:

(4)  邊長為

之內接正方形:

(5)  邊長為

之內接正方形:

(6)  邊長為

之內接正方形:

(7)  邊長為

= 1 之內接正方形:

從以上各圖可知,以線段為

至 1 為邊之正方形而能內接一直角三角形者可以以上述作圖法作出,例如要作以

為邊之正方形而能內接一直角三角形者,則可取直角三角形之兩直角邊分別為

(7 – √45) 及

(7 + √45) ,作其內接正方形,則正方形之邊長為

較易說明之例為以 1 為勾,以6 為股,在此直角三角形內作一正方形,則此正方形之邊長為

﹝見前圖﹞。

從上節可知,ab 之最大值為12,而 ab 分別為 3 與 4,即勾 3股 4 弦 5 之正直角三角形,其內接正方形之邊長為

,即 1

以下之

介於

之間:

ab

a + b

a

b

小數

8

7

(7 – √17)

(7 + √17)

1.142857…

9

7

(7 – √13)

(7 + √13)

1.285714 ...

6

7

(7 – √9) = 2

(7 + √9) = 5

1.428571...

11

7

(7 – √5)

(7 + √5)

1.571428...

12

7

(7 – √1) = 3

(7 + √1) = 4

1.714285...

從上表可知,當ab = 10 及 = 12 時,則 ab 為整數。

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