折射成像规律 十年寻觅 一朝破解 谢谢2018年的第一场雪

雪中月季 凌寒独自开

2018年的第一场雪，雪下的很大，大雪阻塞了往返的路，晚自习停上，早自习取消，不坐班，不签到，只盼师生路上安好。

周四早晨，校园降下大雪，微主早早来到学校参加扫雪，半个小时不到，身上就热气腾腾了。

媳妇儿打来电话，称距离远，路上滑，中午不回家，午饭自行解决；一天没有课，这一整天的时间如果能充分利用起来，那效果一定不错的。

不久前，微主在微信群里向关欧鹏老师求教零比零型的极限求法，学会了洛必达法则基本用法，隐隐觉得2008年以来研究的水中物体折射成像定量规律应该会有所突破。

大雪压轻松 青松挺且直

正愁没有成块儿的时间分析求解，没有想到2018年的第一场雪促成了这个问题的圆满解决。

对水中物体折射成像定量规律研究最早可以上溯到2008年，因为有2008年投给《物理教学》编辑部的稿件为证。

由于当时的稿件只进行了基于《几何画板》的动画模拟，没有给出折射成像的轨迹方程，理论性不够强，被拒在情理当中。

近处最深 四周渐浅

这个问题是2008年带着阿尧到游泳池游泳的时候发现的，当时人很少，在浅水区，我们透过比较平静的水面观察水池的底部，发现脚下看起来最深，四周逐渐变浅。而实际上，浅水区的池底是水平的。

在泳池内拍照十分不便，回来之后，就开始有意识地观察鱼缸、水池、水槽，确定这是一种真实存在折射成像，而不是人的视觉误差。

玻璃砖 视深近深远浅

为了固定实验现象，我们还用玻璃砖类比水槽，用相机代替人眼拍照记录，可以发现，近处看起来深，远处看起来浅。

几何画板与几何光学是绝配

在几何画板中，微主利用折射定律，在观察点M确定的条件下，通过两条折射光线的反向延长，做出了水池底部的折射成像。图中弯曲的虚线就是水池底部的折射成像，曲线的形状与在泳池、水池、鱼缸、玻璃砖中的观测结果相吻合。

这条水池底部折射成像曲线的方程是什么？成像曲线的形状受哪些参量的影响呢？

这就需要推导像点P'的轨迹方程。寻找轨迹方程的原理并不复杂，只需要写出两条出射光线的方程，两个方程联立求解，即可得到像点P'的轨迹方程，而在几何画板中绘制轨迹方程的曲线，就可以得到水池底部的折射成像，调节相关参数的值，就可以观察到相关参数对水池底部的折射成像规律的影响。

近似轨迹方程

还好，微主费尽千辛万苦，导出了像点P'的轨迹方程，运用方程绘制的轨迹图像与运用几何作图法得到的图像十分吻合。也就是说，此方程是合理的。

显然，这个方程是非常复杂的，它会瞬间抹掉审稿人检验对错的勇气。上述方程还不是最简化的，因为△x是一个为了便于分析作图而人为引入的中间参数。只要令△x→0，求上述方程的极限，就可以把方程进行简化。

这个复合函数里里外外嵌套了8层，在Mathematica中对上式求导，得到一个如果打印出来会有一米多长的复杂导函数，结果令人十分绝望。求解解不出，放弃不甘心，一拉扯就是十年。

就在上周末，微主和阿尧一块儿去浴池洗澡，还仔细观察了水池底部成像弯曲问题，并定性讨论了这个问题。这是一块心病，非解决不可。

2018年的第一场雪，给微主提供了一个绝佳的求解机会，将相互嵌套的复合函数层层剥开，依次求导，经过数次失误和反复。每一次反复，都需要将在几何画板中进行一次绘图验证，考验耐心，非常繁琐。

最后分子和分母的导数分别被正确解出，运用洛必达法则求出极限，最终得出了理想的像点P'的轨迹方程式。

理想轨迹方程

如果令xA→0，可以得到简化结论，这个结论显然与我们高中物理的相关结论相吻合。

极值点方程

如此一来，轨迹方程得到了最简洁的形式，简化结论与主流认知相吻合，轨迹形状如日常观察相吻合，轨迹图像与几何作图完全重合。

不知不觉之间，十个小时过去了，微主把各种原始数据和文件保存归档，走到室外。

雪已经不是很大，但依然执着地飘着细小的雪花，我深深地吸了一口富含雪沫的空气。

那空气，香甜无比……