硬核科普——不确定性原理本质上与量子力学无关，而是纯数学现象

• 沃纳-海森堡

很多人认为，海森堡测不准原理（不确定性原理）是关于观察者通过光子与电子相互作用，从而影响光子的动量的理论。

观察者必须影响电子的动量（或某些量子状态）才能观察到它，这可能是真的，但这并不是不确定性原理的根本原因！让我们先定义一下海森堡的不确定性原理。

在量子力学中，测不准原理（也被称为海森堡测不准原理）是一种数学不等式，对粒子的某些物理量的值（如位置和动量）可以从初始条件预测的准确性提出一个基本的限制。——-维基百科

一个常见的表述方式是，在任何给定的时间点，你无法同时准确测量一个粒子的动量和位置。这种不确定性并不取决于测量设备或环境。不管我们做得多好，我们都不可能知道这两个量的确切值。

• 首先，存在着多种不确定性原理，其中许多在宏观世界中体现。事实上，你无时无刻不在遇到这些，只是你没有意识到它们。
• 其次，海森堡的不确定性原理背后的根本原因与量子物理学无关，而是与数学有关。

所有这些原理背后的真正原因是某个数学事实，所有的波（共轭变量）都必须服从，包括物质（我们稍后会讨论这个问题）。雷达技术、能量和光也有必须遵守的 "不确定性原则"，正如我们很快会看到的，这一切本质上与物理学无关。

波

最终，这一切都归结为非常简单的事情。所有类型的信号或函数，无论多么复杂，实际上都是正弦波的叠加。这是一种波长和振幅都很明确的纯波。

叠加只是意味着所有的波相互作用，然后所有的波的总和（称为干涉）就是构成更复杂信号的叠加。

也就是说，我们可以把一个函数分解成构成它的更简单的组成成分（纯波）。这几乎就是傅里叶级数和傅里叶变换所做的事情，只不过这个过程不仅仅是对周期性函数而言的。

这种效果在音乐中是显而易见的，例如吉他声中带着泛音，与主波（被拨动的弦的频率）相互干扰。因此，吉他的声音（和任何其他乐器）是由不同频率和振幅的纯正弦波组成的。

当我们描述这样一个复杂的信号时，我们可以选择两种相等的方式来表示它。我们可以选择用一个时间轴来描述所有产生干涉图样的波是如何同时相互作用的，或者我们可以选择用构成它的纯波的频率来描述它。这两种方式被称为双重关系。如果有一个数学工具来描述时间上的信号和频率上的信号之间的这种双重关系，那会非常有帮助。确实有这样的数学工具。

傅里叶变换

我上面提到的描述这种双重关系的工具，叫做傅里叶变换。毫无疑问，它是所有数学中最强大和最常用的工具之一。

首先，我们需要了解一些关于这种变换的一般情况。傅里叶变换是一个积分变换（也就是一个算子），它接收一个函数并返回另一个函数。

作为一个函数空间的算子，我们可以把它看作是一个纯数学的东西，然而，它有一个很好的物理解释，可以在两种情况下使用。我们将主要从物理学的角度来考虑它。但当然，它本质上是纯数学的。

在下文中，我们将始终假设积分是收敛的。

假设：

是一个可积分函数。f的傅里叶变换是由以下积分给出的：

如果f表示声波作为时间的函数，那么傅里叶变换表示构成声波的频率，因此f是频率的函数。

下面是一个GIF，显示了一个声波（本例中是一个单位脉冲）是如何由许多纯正弦波组成的，从而产生了sinc函数，即sin(πs)/πs。

理解一个信号总是有这两种等价的表达方式是非常重要的。它们是等价的，因为给定其中一个，另一个是唯一确定的。唯一的傅里叶逆变换是：

傅里叶变换的特性

在提到傅里叶变换时，我们不能不说明和证明它的一些惊人的特性。首先是关于平移的。假设h（t）=f（t+a）。通过变量的改变，我们有：

因此，时间的变化（信号的延迟），对应于频率的相移。那么缩放呢..？假设h（t）=f（at）。我们把这种情况分成a<0和a>0。

注意，所用的变量变化是u = at。让我们看看当a<0时的情况。

数值只在函数外的a上取。所有这些都可以用一个表达式来说明：

它的物理解释是什么？

傅里叶变换的缩放特性意味着，如果我们在时间上压缩信号，那么就相当于在频率上扩大信号（水平方向），反之亦然。

这一特性是非常重要的。

通过量纲分析，我们可以进一步理解。时间以秒为单位，单位是s，频率以秒的倒数为单位，单位是1/s。如果把时间延展，频率就会减少，反之亦然。

如果你想知道频率的输出单位是从哪里来的，那么这很好理解。傅里叶变换中的s最终决定了构成信号的纯波的周期，你可以通过使用欧拉公式将复指数扩展为正弦和余弦，或者将傅里叶变换看作一组连续的傅里叶系数来感受一下。

读者可能已经知道一个更实用的特性是，傅里叶变换将导数转换为常数的乘积。这意味着一个空间的微分方程对应于另一个空间的代数方程。

波函数和海森堡的不确定性原理

量子物理学家描述一个量子系统（例如一个粒子）的方式是通过可能的量子状态。对此进行建模的函数家族被称为波函数。比方说，位置的波函数的大小的平方给出了与粒子有关的概率分布。

因此，我们可以把波函数解释为产生一个概率波，告诉我们一个粒子在一个特定空间区域的概率。因此，描述粒子位置的波函数可以被看作是空间的波，而不是时间的波。

当我们对这个位置波（位置的波函数）进行傅里叶变换时，会得到一个空间频率波，而这个空间频率波就是粒子的动量的波函数。

如果你想一想，这其实并不令人惊讶，因为如果你认为光是一个波包或物质波，那么动量是由光的频率给出的。

特别是，我们有γ=h/p和f=E/h来显示这种关系。这里γ是波长，h是普朗克常数，p是动量，f是频率，E是能量。

我们越是确定一个给定的粒子是在一个小范围内，位置的波函数越局限(水平压缩)。由于动量的波函数是位置波函数的傅里叶变换，动量波函数将被水平拉长，这意味着动量将有更大的不确定性。这是由于上述傅里叶变换的缩放特性造成的。

这就是海森堡的不确定性原理。它只是傅里叶变换的作用。

它指出：

其中h是普朗克常数，Δx和Δp分别是位置和动量的不确定性。

广义的不确定性

当一个函数g是函数f的傅里叶变换时，我们称f和g为共轭变量或共轭对。对于任何一对共轭函数，都有一个不确定性原理。

海森堡的不确定性原理只是共轭变量这一更广泛和更深刻现象的一个特例。

为什么共轭变量的不确定性原理应该成立（从数学的角度来看）？原因是这样的：短信号，如突发的声音脉冲，需要许多波来保持振幅在某个间隔之外为零。相反地，当纯波贯穿整个空间时，信号越像正弦，描述信号所需的频率就越少。

• 当听到一阵短促的声音时，你将很难确定它所包含的频率，但如果你听到一些纯信号长时间响起，你就能够将不同的频率区分开来。这也是不确定性原理。
• 同样，我们对一个雷达目标的距离知道得越多，我们就越不能知道准确地接近或远离速度，反之亦然。这就是多普勒和范围的不确定性。

另一对共轭变量是能量和时间。因此，对于能量和时间的同时测量，有另一种形式的海森堡不确定性原理。描述这种关系的不等式类似于经典的不确定性原理：

还有许多其他共轭变量，因此也有许多不确定性原理，但它们都有一个共同点，那就是其基本规律本身不是物理性的，而是数学性的。波的数学只是限制了我们能从任何量子系统中检索到的信息量。

海森堡不确定性原理的影响是真实的

如果你拿一个激光器指向一个小狭缝，使部分光线被阻挡，但部分光线通过，那么就会出现一个惊人的现象。

光线在狭缝后面的墙上散开，如果让狭缝变窄，那么散开的范围就会变大。这似乎违背了直觉。这是因为海森堡的不确定性原理。当我们使狭缝越来越窄时，我们迫使位置波（波函数）越来越局部化（狭窄），根据不确定性原理，动量波函数变得越来越宽，使越来越多的方向成为可能。

由于动量是一个有方向的矢量，这意味着光子被允许在狭缝的另一侧移动的角度变得越来越大，在墙上形成了美丽的散射。

不确定性也可以解释为什么太阳会发光，甚至解释为什么霍金辐射的时空现象会缩小黑洞。不确定性是一种纯粹的数学现象，但由于量子系统实现了其中的一些数学理论，不确定性也是一种物理原理。