中考数学压轴题分析：圆与梯形综合

本文内容选自2021年柳州中考数学几何压轴题，综合圆与梯形，利用相似等知识进行求解。

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【中考真题】

（2021·柳州）如图，四边形中，，，，，以为圆心，为半径作圆，延长交于点，延长交于点，连结，交于点．
（1）求证：为的切线；
（2）求的值；
（3）求线段的长．

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【分析】

（1）根据平行线的性质得到∠ABC的度数即可。

（2）转化为求∠C的余弦值即可，过点D作BC的垂线构造指教三角形。

（3）圆中线段求值问题常考虑用垂径定理。过点A作DF的垂线，由（2）的结论可以得到DF的长，进而根据一个A字型相似，得到DG的长，再在△ABG中用勾股求BG的长即可。

当然，还可以有其它的方法。

如图，构造一个X字型的相似，先求出FH的长，进而得到GH与AG的长，再用勾股求BG即可。

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【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
为的切线；

（2）解：如图1，过点作于，
，
由（1）知，，
，
四边形为矩形，
，
矩形是正方形，
，
在中，，根据勾股定理得，，
，
，
，
；

（3）如图2，
过点作于，则，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
在中，．