正方形背景下的一线三等角问题

分析：借助正方形背景下的一线三等角模型，很容易利用“同角的余角相等”，证明∠BAE=∠FEC，进而利用A.A.证明△BAE∽△ECF.

分析：由∠B=∠AEF=90°，可以利用A.A.或S.A.S判定△ABE∽△AEF，借助问题1中的△BAE∽△ECF，找到等角或对应线段的比.

解法1：利用“S.A.S”判定相似。利用问题1的△ABE∽△ECF，得到对应边成比例，再利用该条件，最后证明△ABE∽△AEF.

解法2：利用“A.A”判定相似。通过构造中位线，利用直角三角形斜边中点及平行线的相关性质得到∠BAE=∠EAF，最后证明△ABE∽△AEF.

解法3：利用“A.A”判定相似。通过倍长中线，构造AE=DP，利用垂直平分线的性质定理，得到∠BAE=∠EAF，最后证明△ABE∽△AEF.

说明：解法2和解法3都是利用中点的性质添加辅助线，或者添加中位线或者倍长中线法，都为了说明∠BAE=∠EAF，利用A.A证明△ABE∽△AEF.

解法4：借助方程法设元求解，解法4-1利用勾股定理，借助S.A.S判定相似；解法4-2利用∠BAE和∠EAF的三角比，从而证明∠BAE=∠EAF，借助A.A判定相似.

方法小结：

分析：本题中虽然G不与A重合，但是问题2中的三个直角三角形依旧两两相似，即△GBE∽△ECF∽△GEF，同时仍可以借助问题2的添辅助线的方法，从而构造y关于x的函数关系式.

分析：本题中△AGQ和△CEP相似，已经有一组等角∠BAQ=∠ACB=45°，因此进行分类讨论：①∠AGQ=∠PEC；②∠AQG=∠PEC；并结合问题2中发现的等角进行综合考虑。

小结：对于这样题组式的练习，应该多关注图形中的“不变”，本题中主要抓住的是三个两两相似的三角形，以及紧扣∠1=∠3=∠4，注意题目中的联系与变化，才能对于复杂问题迎刃而解。