证明e是超越数之一：e不是任何整数系一元二次方程的解

前面已经了解了e是无理数，但同时e又是超越数，那什么是超越数呢？

超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数（不是任何整数系方程的根），对于证明超越数是相当复杂，所以本期将分成4个部分来来证明：《e不是任何整数系一元二次方程的解》《e与一元三次方程的解的关系》但为了证明e不是任何整数系一元三次方程的解，有必须了解《e与伽马函数的关系》最终得出《e不是任何整数系一元三次方程的解》，最终得到e不是任何整系数代数方程的解，也就得到e是超越数

前面《e是无理数最优美的证明方法》已经得出e的无穷级数可以写成整数之比加上一个很小的数，由此得出e是无理数，也就不能写成两个整数之比。

我们知道线性方程是如下形式，a，b是整数，所以得到

因为e不是有理数，等同于e不是任何非平凡整数系线性方程的解，这里的非平凡理解为a,b均不等于0。

那e是不是非平凡整数系（系数均不等于0）一元二次方程式的解呢，我们先想想根号2,虽然是无理数，但它也是一个很简单的二次方程的根

我们要证明e比根号2还要无理。我们要怎么证明这个二次等式不成立呢

我们还是运用反正法，假设e是一元二次方程的根，

变形整理得到

回到文章开头，m越大，右边那个分数就越小

我们都知道e^x的无穷级数，所以1/e的无穷级数就是

同理，运用类似的方法，1/e也可以写成一个分数+一个小数形式

将e和1/e的等式带进去

得到

两边乘以m!整理得到

所以最终就写成了：整数+a*小数+c*小数=整数

果m很大，则括号内的数就会越小，最终小于1，但它是否等于0呢，如果等于0，上述等式就是成立的，我们就制造不出矛盾了。聪明的伙伴们也许动动脑动动手就知道，无论m有多么大，括号内有多么小，括号内的始终不会等于0。(留给读者自己证明)，这与假设矛盾，上述等式不成立。

所以我们得到e不是非平凡整数系（系数均不等于0的整数）一元二次方程式的解。