不等式专辑二：借助数轴分析不等式的整数解问题(含几何画板GIF演示)
之前我们也研究过方程组的整数解问题，主要方法是消元，这里不再赘述．但不等式的整数解问题，则完全不同，我们是在求出解集的情况下，来确定其中满足条件的整数解，因此，我们可以借助数轴来动态分析．这次先从最简单的说起．
例1：若关于x的不等式x＜a的正整数解只有1，求a的取值范围．
分析：x＜a已经是解集形式，因此，我们根据正整数解只有1，可以确定a＞1，那么仅仅如此么？我们接着借助几何画板，画数轴进行动态演示．
观察GIF我们可以发现，当a在向右移动的过程中，满足x＜a的正整数在增加，要使得正整数解只有1，则还需满足a＜2．
也就是说，我们找到了两个临界点，1和2，a的范围可以初步确定为1＜a＜2．
但是，还有一个问题，这两个临界点能不能取到呢？我们再分别来观察一下．
显然，
当a取1，则不等式解集为x＜1，此时没有正整数解．因此，临界点1不可取．
当a取2，则不等式解集为x＜2，此时恰有正整数解1．因此，临界点2可以取．
解答：即a的范围最终可以确定为1＜a≤2．
变式1：若关于x的不等式x＜a的正整数解只有1个，求a的取值范围．
分析：题目仅与例1一字之差，也就是说，我们得先确定这个正整数x是几，会是比1大的整数吗？显然不会，因为如果这个唯一的正整数是2，则a＞2．而1也比a小，那么就会出现2个正整数解，与原题矛盾．因此这个正整数只能是1．接下来的过程则与上题完全一样．
解答：1＜a≤2
变式2：若关于x的不等式x＜a的正整数解只有3个，求a的取值范围．
分析：本题又与变式1一字之差，我们要先确定的是，是哪三个正整数．借助数轴我们可以确定，只能是1，2，3．那么临界点必为3，4，最后只需考虑哪个临界点可取等号．
解答：3＜a≤4
变式3：若关于x的不等式x≤a的正整数解只有3个，求a的取值范围．
分析：本题又与变式2一字之差，根据先前积累的经验，我们可以确定，三个正整数必为1，2，3．临界点必为3，4，此时只需考虑哪个临界点可取等号．
当a取3，则解集为x≤3，此时正整数解为1，2，3．因此，临界点3可以取．
当a取4，则解集为x≤4，此时正整数解1，2，3，4．不符合题意．
解答：3≤a＜4
小结：以上几题就是根据不等式整数解的个数，来求参数范围的最典型例题．今后的题目只是在这最基础的类型上稍作变形。
对于这一类题，我们可以按以下几个步骤来解题：
1. 求出不等式解集（用含参数的代数式来表示）．
2. 画数轴，初步确定范围
（多次练习你会发现，两个临界点必为相邻的整数）．
3. 判断两个临界点中，哪一个可取等号．
4. 最终确定参数的取值范围．
练习：
变式4：若关于x的不等式x＞a的负整数解只有2个，求a的取值范围．
变式5：若关于x的不等式x≥a的负整数解只有4个，求a的取值范围．
附上期练习和答案
2.某厂设计一种桶式净水器，装有1个进水管，3个出水管．当桶内有一些水后，如同时打开进水管和1个出水管，可供净水20min；若同时打开进水管和2个出水管，可供净水8min．若同时打开进水管和3个出水管，可供净水多少min?
解答：设净水器原有的水量为a，一个出水管每分钟的出水量为x，一个进水管每分钟的进水量为y，可供净水z分钟．