一元二次方程根的判别式的应用
一、求方程(组)的解及解的取值范围
例1若x2+2x+y2-6y+10=0,x,y为实数.求x,y(原初中代数第四册第207页3(2)题)
解:将方程看成是关于x的一元二次方程,由于x,y为实数.
∴Δ=22-4(y2-6y+10)=-4(y-3)2≥0.
即(y-3)2≤0,于是y=3,进而得x=-1.
例2已知a,b,c为实数,满足a+b+c=0,abc=8,求c的取值范围.(第一届“希望杯”全国数学竞赛题)
例3已知实数x,y,z满足x=6-y,z2=xy-9,求x,y的值.
证明:∵x+y=6,xy=z2+9则x,y是一元二次方程a2-6a+z2+9=0的两个实数根,
则有Δ=36-4(z2+9)=-4z2≥0,即z2≤0.
因z为实数,∴z=0,从而Δ=0,
故上述关于a的方程有相等实根,即x=y=3.
二、判断三角形形状
例4若三角形的三边a,b,c满足a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0.试判断三角形形状.
三、求某些字母的值.
例5 k为何值时,(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+k是一完全平方式.
解:原式=(x2+8x+7)(x2+8x+7+8)+k
=(x2+8x+7)2+8(x2+8x+7)+k
令(x2+8x+7)2+8(x2+8x+7)+k=0,因原式是完全平方式,则其根的判别式,
Δ=82-4k=0,即k=16.
例6如果x2-y2+mx+5y-6能分解成两个一次因式的积,试求m的值.
例7 a为有理数,问:b为何值时,方程x2-4ax+4x+3a2-2a+4b=0的根是有理数.
四、证明不等式
五、求函数的最大值最小值
六、证明实数存在性问题
七、在平面几何中的应用
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