如何学好数学？

如何学好数学？应该从三个方面着手，一是理解知识点，提升数学直觉；二是积累解题技巧；三是构建积极的数学心态。本章就和大家谈谈这三部分，其中提到的知识点在后面十章中都有详细的讲解。

理解知识点

我们知道痛苦指数和理解指数成反比，越多的理解意味着越少的痛苦。之所以数学让很多学生头疼，是因为我们在数学学习和教学过程中，缺乏真正意义上的理解。我们的数学教材的表述框架多年来基本没变，所以今天学生的学习痛点和30年前的学生的学习痛点也很相似，也就是说，我们很难在现行数学教材上解决数学学习的痛点，达成真正意义上的理解。这也是这本书的使命之一，就是突破现行数学教材的表述框架，解决学生的理解痛点。后面的十章内容（基本涵盖了高中数学的主要知识点）就是在做这样的尝试。

学习中，与理解相对的是记忆。记忆会给人带来一种压力，就像上台演讲时会担心自己突然会忘词一样，我们在考场上也会担心自己的记忆不准确。随着知识点越来越多，要记的也越来越多，这种精神压力就会累积。另外习惯依靠记忆学习的人，思维相对容易僵化，缺乏创造力和解决实际问题的能力。反复记忆百遍数学法则，它的真正含义也很难自动呈现在你面前，这就像让一个幼儿园的孩子记住“锤子可以用来钉钉子”这条法则，这并不意味着这个孩子真正理解了钉钉子的手段和锤子的真正功用，实际上，石头、铁块等任何坚硬的物体都可以用来钉钉子，锤子不仅可以钉钉子，还可以用来砸开核桃壳，或敲碎车窗用以紧急逃生。如果孩子只是机械地记住了“锤子可以用来钉钉子”这条法则，那么当这个孩子需要钉钉子，而身边只有石头的时候，他很可能无法完成钉钉子这个任务。

直觉、直觉、直觉

我们在闯关式的数学学习后，会遗忘大部分内容，如果说高中数学学习剩下什么东西的话，那就是我们的数学直觉。比如一个小学生的作业：365×12=3699我们之所以不需要动笔计算，就可以一眼就判断出这个计算是错误的，是因为我们知道个位数一定是0，如果再进一步365×12结果一定大于4000，因为350×10+350×2=3500+700=4200，这个估计是在数学直觉的支配下完成的。一般小学生对乘法的理解还不是很深刻，所以他只能按部就班地列出乘法的计算步骤。同样的道理，当我们对一个概念的理解还没有上升到直觉的时候，也要老老实实地按部就班地按照套路去做，而套路对我们的大脑来说是没有意义的程序，我们只有从事对自己有意义的事情，才会有兴趣和动力，所以就像小学生不喜欢做乘法计算一样，我们也会认为高中的数学问题无聊且难懂，但对那些已经将高中知识点的理解上升到直觉的同学而言，数学就脱离了机械的套路，一切都是有趣且充满意义的。

数学直觉很重要，但很难模仿。以篮球投篮为例，NBA明星运动员在高强度的对抗和防守下，仍然有稳定的投篮命中率，我们可以通过录像学习他的投篮姿势和他们的体能训练视频，但我们在比赛中仍然达不到他们的投篮命中率。想想吧，把一个球扔进篮筐是多么简单的事，实际上，要到达到专业的篮球运动员水平，就不是简单地练习动作（套路），而是精神和心理，国外有专门针对顶级运动员的“巅峰表现”（peak performance）运动心理工作坊，目的之一就是提升比赛的直觉，比如对投篮而言，他的呼吸节奏、出手时机、投篮瞬间的意识放大效应（体感时间延长，防守队员的动作在他眼里就是类似于电影里的慢动作），这些内在的直觉是我们通过模仿外在的投篮姿势和训练所学不到的。同样，面对一道数学题目，我们只见数学高手毫不费力地找到解题路径，而我们要苦思冥想半天也摸不到头绪，主要原因不是那些外在的能说出来的东西：公式记得不熟，题目做的不多等，而是内在的数学直觉的差异。我们通常将自己和数学高手间的差距归因为天赋，如果真存在“数学天赋”，那也是数学高手找到了提升数学直觉的正确方法，我们暂时没有找到罢了，后面的十章数学讲解就是试图展示支持数学高手高效解题背后的内在直觉。

提升数学直觉的方法

简单的乘法运算我们能够凭感觉估计个大概，那么三角函数、指数函数和对数函数、椭圆、双曲线、虚数、二项展开、微积分、条件概率等这些复杂的概念怎样凭直觉去理解呢？换句话说，这些复杂的概念怎样和我们已知的简单的概念联系起来呢？如果你读完后面的十章内容，你就会知道我把看作是高，看作是宽，指数函数是求最终数量，对数函数是求达到最终数量所需要的时间，椭圆标准方程是单位圆的左右伸缩，双曲线标准方程的渐近线是x趋向无穷大时y的表现，虚数是旋转90度，二项展开就是Mississippi问题，微积分则是更为精细的乘法运算和除法运算，条件概率是当新的信息加入后，对原有的估计的修正，当然后面章节中还有更多的精彩的数学直觉等着大家去发现，仅从上面的几个例子就能看出，我所说的数学直觉是指把复杂的概念“降级”为简单的日常语言和简单的模型，我们的大脑对这些简单的语言和模型的理解直接且透彻，就像理解一样，已经上升为感觉。在直觉化的过程中，我们可以用到的思维武器有：联想类比法、图像法、经典例子法、翻译为平常的语言等。

1）联想类比法

我们过去和现在使用的教学框架是：对一个概念先给出精确和完备的定义，接着证明相关的几个定理，最后配合上几道例题。这样是满足了数学严谨的要求，但却让我们的大脑痛苦不堪，因为我们的大脑不是这样工作的，我们大脑对一个新事物的理解是从“关系”开始的，我们是去找新事物与自己已有经验和知识储备的联系，然后通过联想和类比建立新的神经连接。一个2岁的牙牙学语的宝宝就已经通过联想和类比来探索世界，他会把所有圆筒的东西都与冰淇淋联系在一起，他看到风筝会说是大鸟，我们成人可以对此哈哈大笑，但宝宝学习能力确实是非常自然而且高效的，只是随着外在环境的不断影响，我们的思维和身体一样，都慢慢僵化起来，所以才会有死记硬背。

数学家们的独特之处在于他们始终拥有着孩童般的思维模式，能将一个新的概念通过联想和类比与原有的知识储备建立联系，看到单位圆就联想到剧院的圆顶，看到就联想到圆顶中巨型屏幕的高，看到负号就想到逆时针旋转180度，看到虚数“i”就想到逆时针旋转90度，还可以是更为抽象的类比，f(2x)相对于f(x)就类似于电影中的快进，单位时间播放的内容是以前的二倍；正弦定理讲的是法官可以从有限的证据中判断出案件的大体轮廓，余弦定理讲的是一个寺院里两个和尚的才艺互补还是互斥。正如孩子是通过美味的冰淇淋感知圆锥的，我们也可以通过联想和类比直觉地感受到三角函数、虚数、图像的变换等概念的“模样”。

2）图像法

没有什么比“看见”更为踏实的了，比如导数的乘法法则“前导后不导加上后不导前导”，我们可以自己运用导数的定义证明一遍甚至十遍这个法则，但真正应用这个法则的时候，总还会有一丝隐隐的不确定：“我记得没错吧？”导数的乘法法则的几何证明就没有这种担忧，很简单，眼见为实，我们看见了。即使有10年不用导数的乘法法则，或即便我们早已忘记导数的乘法法则的几何证明，只要我们再翻看一下以前的笔记（或是这本书），记忆很快就能恢复，“啊哈，原来导数的乘法法则是一个长方形长方向的增长加上宽方向的增长啊！”。这又引向一个有趣的问题，怎样验证我们对一个问题的理解是不是达到了直觉上的理解，其中一个标准就是在忘记这个法则后，翻看以前的笔记，就可以瞬间提取关于它的记忆。

我们大脑对图像的理解要好于文字和符号，这是源于人类祖先打猎时需要记住周围的环境和地形。用图像去解释一个概念，会直接在我们的头脑中形成一个“印象”，就像我们听到一个人的名字，会瞬间记起他的声音和面孔一样，当我们在头脑中把一个概念和图像联系在一起时，看到这个概念就会触发一个印象，随后再聚焦（zoom in）到图像的细节，这时逻辑和推理如约而至。这才是符合我们人类大脑进化的问题理解过程。

3）经典例子法

我们感觉一个问题难以理解，往往是由于我们采用的是横切面的学习法，即前人经过几百年才搞清楚的结果，我们要在一节课掌握，这是不可能的。比如极限和连续性的正式定义不容易理解，而微积分的出现和应用要远远地早于极限和连续性的正式定义，这说明两个问题，一：极限和连续性的正式定义很难，前人思考了很长时间；二：对微积分的理解可以不依赖极限和连续性的正式定义。但拿出任何一本微积分的书，十有八九开头第一章是介绍极限和连续性的正式定义的，这让学生对微积分的学习热情和动力在引入微积分之前就被耗尽了。

实际上，趁着学生对一个新概念还充满热情和动力，我们最应该展示给他们的是故事最精彩的篇章，那就是一个有趣的经典的例子，这个例子可以是历史上的数学家们曾经感到头疼的问题，也可以是非常具有代表性的问题，比如圆的周长公式的不定积分是圆的面积公式，圆的面积公式的导数就是圆的周长公式，从这个例子中，我们能够得知微积分与初等代数的差别之一在于：微积分是研究函数与函数之间的关系。再比如排列组合中经典的Mississippi问题实际上和二项式展开是同构问题，赌博中的掷色子问题也能帮助我们理解二项概率这个定理，所以研究好这些经典的例子，我们就可以直觉地理解那些抽象复杂的概念。一个形象的类比是：有一面神奇的镜子，那些看似无序的难懂的符号被这个神奇的镜子一照，镜子中就会出现绘声绘色的电影故事，我们都喜欢电影中的故事，而不喜欢抽象复杂的概念，而一个恰当的经典例子就是这面神奇的镜子，他可以把抽象复杂的问题映射为一个生动形象，简单易懂的故事。

4）翻译为平常的语言

数学是一门语言，语言是用来表达思想的，我们把“100%的利率每分每秒连续增长一年的收益率”表达为自然对数底e，所以数学是高度简洁的语言。然而正如我们不会期待一个不知手语或摩斯密码背后含义的人直接用手语或密码交流，我们也不应该期待一个不知一串数学符号和公式背后含义的学生就能自然而然地应用这些符号和公式。我们需要做一个反向操作，即把这些简洁的符号和公式翻译回当初他们要来表达的思想，我称这个过程为翻译为平常的语言。比如向量积化和差的公式：

用平常的语言可以表述为：α和β同方向的乘积=1/4乘以对角线长度的平方差；

sinx的级数表达式：

可以用平时的语言表述为：sinx是初始力和复原力的结合；

欧拉公式：

翻译为平常的语言是：到达圆上一点有两种方式：可以是从圆心先做水平运动再做垂直运动，还可以沿着圆弧连续的旋转到达。任何的数学公式都可翻译为平常的语言，数学语言的翻译也和其它语言翻译一样，需要时间和经验的积累。后面的十个篇章另一个任务就是做翻译公式为平常的语言这一工作。

我们把数学公式翻译为自己熟悉的语言，实际上是在经营自己和数学的关系，即我们和数学的关系更加亲密了，我们更加喜爱和数学交往了。这就好比我们在面对自己熟悉的人的时候，会更加放松和亲切一样，当我们真正知道数学符号和公式背后含义的时候，我们与这些符号和公式相处时也会感到放松和亲切。反之，每天的数学课就好像进入了一个满是陌生人的屋子，我们虽然表面镇定，但内心非常紧张和焦虑。曾经有一段时间数学课对我来说就是充满敌意的存在，因为当时那位数学老师好像理所当然地认为我们知道这些符号和公式的含义。

上面介绍的四种方法：联想类比法、图像法、经典例子法、翻译为平常的语言是后面十章数学讲解的写作宗旨：提升数学直觉是一个漫长的过程，需要我们感受——联想类比、看见——图像、具象——经典例子、和翻译数学为平常的语言，所以我们可以把上面介绍的四种方法当做本书后面十章讲解的概要学习。

积累解题技巧

我们上面讲过的“理解知识点，提升数学直觉”至少可以帮助你解答70%的基础题目，剩下的中高难度题目则需要我们在头脑中有一个较为扎实和庞大的“解题技巧库”，解题技巧部分本书后面并没有着重讲解，大家可以找些好的高考题库和数学竞赛题库参看。我这里只给大家几条关于解题技巧的建议：刻意模仿解题模式、打包压缩成模块、和反复练习。

1）刻意模仿解题模式

大家一听到“模仿”，可能就感觉很low，很多学生错误的认为数学是挑战智商的学科，就好像脑筋急转弯。其实学习数学和掌握任何其它的技能一样，都需要先模仿，模仿别人清楚简洁的解答，在模仿中，识别模式，并逐渐建立自己的模式库，解题过程就是调用自己的模式库的过程。模仿本身也是一种交流，就像我们在临摹古人的书法时，实际上也是和书法创作者的一种交流，同样，我们看到别人清楚简洁的解答，就好像以旁观者身份在观察别人的思考过程。如果要把这种交流上升到学习层面，就需要我们在观察中总结出一般的解题模式，再内化为自己的解题模式，归置到自己的解题技巧库中。

我相信爱因斯坦如果没有对前人研究的深入学习和思考，他也绝不会提出自己对物理世界的新解释。所以正如著名数学教育家Paul Zeitz说：“要学会理直气壮的占有别人的解题模式，并把他们内化为自己的解题模式”（“Learn to shamelessly appropriate new ideas and make them your own.”）。我还认为，我们不仅要理直气壮，还要对那些优秀的数学解答心存感激和尊敬：正是因为那些了不起的人，才让我们有可能见识这样清楚简洁的解答。在我和师父学习太极拳时，每次收功，师父都要双手抱拳作为最后动作，而且这个抱拳动作要做的非常缓慢，师父跟我讲，这是对他师父传授他拳法的感激和尊敬。

对初高中学生而言，模仿解题模式的难点在于如何识别好的解答，这就好比你学棋，最开始研究的是优秀象棋大师的棋谱还是一般人编写的棋谱，关系到你可能到达的境界，所以刚开始，好的老师和学习资料是比较重要的（只要看看数学家的谱系就会了解师出名门的重要性）。慢慢地你会培养出自己的解题口味，和自己对解答的鉴赏，这时你就是一名高超的数学解题者了。

2）打包压缩成模块

高超的数学解题者在解题时不会自己从头推导每一个结论，他可以很熟练地应用一些结论，不是因为他记住了这些结论，而是之前他已经很好地把这个知识模块吃透了，然后打包压缩为一个结论，也就是说，他在应用这个结论时，脑子中闪过的是一长串的运算和推导，但因为已经研究透彻它的推导过程，整个过程被极大地压缩了。比如求函数的最小值。解题思路可以是这样的：一看到函数的形式，我们就想起这个对勾函数，而对勾函数的图像因为之前我们已经研究的很透彻，所以对勾函数的单调性、最值可以瞬间判断出来。

接下来就是令，那么,如图所示t在这个区间是递减函数，所以最小值是当时取得，即函数的最小值是。实际上整个计算过程完全可以在头脑中完成，而且不需要1分钟的时间，原因就是关于对勾函数的所有性质（单调性、最值、图像）都已经提前打包压缩好了，我们可以随时取用。对不了解这个过程的同学来说，会感到惊讶，认为我们思维跳跃的太快，但实际上我们只是前期的准备工作做得好，就像做一道美味的菜肴，我们直接用的是处理过的食材，汤已经调好，肉也腌制过，蔬菜也清洗切好待用，自然烹制的时间就极大地缩短了。

打包压缩成模块的另一个好处是不容易遗忘，这就好比电脑中的单个word文档很容易丢失，所以我们都会把相关的word文档放到一个文件夹，这样不仅不易被误删，还方便查找。如果你今天学习了对勾函数的最小值是2，明天学习了对勾函数在定义域时为递减函数，后天学习了对勾函数的渐近线是y=x，那么这些零散的知识点就像单个文档一样容易丢失，我们需要拿出一片时间把对勾函数所有的性质都研究透彻，并把研究成果记录在笔记本上，这样就类似于我们把关于对勾函数的相关文档都归类到了一个文件夹。

打包压缩可以是上面介绍的横向的收集性质，也可以是纵向的深入。数学公式是分级的，有一级公式、二级公式和三级公式等等，比如我么可以把向量积公式：看做是一级公式，这相当于向量积的数学定义。向量积还有一个重要的二级公式：向量的极化恒等式，这个相当于向量积定义的扩展公式。我们在做一些简单的题目的时候，往往一级公式就可以应付，教科书上也主要是以介绍一级公式为主，但在面对复杂问题的时候，就需要应用二级公式甚至三级公式。如果我们能把一个知识点的一级和二级甚至三级公式都研究透彻，再打包压缩为模块，放到自己的知识库中随时调取，我们就有可能成为高超的数学解题者。

3）反复练习

因为我在国际高中讲授美国高中数学（美系课）和英国高中数学（英系课）的缘故，我比较清楚欧美的高中数学考试和中国高中数学考试的不同点，简言之，欧美高中数学考试侧重检验学生对知识点的理解，而且学生对考试的选择性更多。比如美系数学有相对基础的sat2数学考试和比较难的AP微积分考试，AP微积分又分为相对基础的AB和较为难的BC，而AP微积分的评分标准是正确率达到70%以上就是满分5分，所以说美国大学录取学生在标准化考试这一项有两个维度：一是看考试的分数，二是看学生选择了多少门有挑战性的课程和考试。中国高考数学是通过一门考试来区分考生的数学能力，自然就要在这张试卷的难度上作文章，所以中国的高考数学更加侧重解题技巧，高考数学卷中有的题目甚至直接借鉴数学奥林匹克竞赛试题，数学竞赛大家都知道需要专业的集中的训练，所以我们对待高考也要有专业选手的心态。对专业运动员来说，一个技术动作他们会反复练习，训练到100%正确率为止。但这并不是说我们做数学练习一开始就不可以出错，关键是要反复练习，练习到这类题型再出现什么变形都不会出错的程度，这样在时间紧迫、题量巨大的高考考场上，我们才能保证较高的正确率。

很多学生在做数学题上有两点误解，一是认为看解题过程和动手做题的效果差不多；二是认为会做了某种题型，就无需再做这种类型题了。这两种误解是导致学生一到考场就发挥不出来的主要原因。数学解题技巧学习其实和乐器学习类似，都需要反复亲自动手练习，没有人是通过看一本钢琴教材就成为钢琴家的，也没有钢琴家只要能弹出这首曲子就再也不需要弹第二遍了，技巧需要反复练习才能真正内化为自己的技能。所以下次再遇到一道似曾相识的题目，但解答怎么想都想不起来时，不要沮丧和自责，因为这跟智力无关，只是训练不足罢了。

构建积极的数学心态

如果学数学能够像打网络游戏一样有趣，那么这里就只需要介绍一下数学攻略就可以了，事实上，数学对大多数初学者而言无趣且难懂，常常需要走出心理舒适区，才能取得一点进步，所以有必要学习一些数学心理方面的知识。

学会与错误共处

在看这条建议前，我建议你先试着去解一道陌生的难题，我相信开始你会有一个模糊的思路，沿着这条线索往下解，在某一步突然就卡住了，或者你很顺利地得出答案，但发现自己的解法与正确答案相差甚远。这时你一定会经历沮丧和挫败感，因为我们的大脑厌恶错误和不确定性，这可能源于人类祖先在外出狩猎时进化出来的一种心态：在残酷的丛林中犯错意味着危险。但这种对错误的厌恶心态会严重阻碍数学学习，因为数学与人文学科不同，它有明确的对和错，读一篇文章我们会有各自不同的见解，很难说谁的就百分百正确，但数学题有百分百正确的答案，在没有最终得到正确答案之前，可以说我们都在错误和未知当中。有数学家曾说过：“数学就是朝着正确的方向犯错误，做数学研究经常会有挫败感，解不出来难题是数学家的常态”。既然学数学大部分时间都是在犯错误，我们就非常有必要学会与错误和平共处。

我们不要期待一下子就理解所有的知识点，一下子就把题做对，我们要学会在错误所带来的负面情绪中仍能保持内心的平静和坚韧。数学不仅锻炼我们逻辑思维的能力，而且还有利于坚强和勇敢性格的培养。世界著名大学招生委员会在查看学生递交的申请材料时，都会特别关心一点：学生的坚韧心（resilience and grit），数学的学习就能很好地体现学生坚韧心的强度。如果要成为数学高手，就要有超乎常人的对错误的忍受力，这就好比世界顶尖的体育运动员，他们都有着超乎常人的忍受身体疼痛的能力。

我与错误共处的方法很简单，概括起来就是由勉而安。当我在解题过程中因感到沮丧和挫败而烦躁时，我会让自己和这个感觉多待一会儿，不逃跑，也不急着看答案，我就停下来静心观察自己的感受，当我观察它时，我和这种负面情绪就有了距离，这种沮丧的情绪对我的影响就慢慢削弱了，开始还很勉强，后来就会变成习惯成自然。虽然时不时地我还会因为解不出题而感到烦躁不安，但这已经不再那么让我困扰了，与错误共处应该是我们每天修行的功课。有一个形象的比喻：错误就像一只怪兽，这只怪兽一直追着我们，我们不敢面对它，因为我们以为这只怪兽要吃掉我们，所以一见到它就赶紧跑。实际上错误这个怪兽一直想帮助我们学习，只要我们回过头直面它，与它共处，错误就会成为我们最可靠的盟友。

数学恐惧症

当我们说“我讨厌数学”时，实际上我们是讨厌学习数学时产生的挫败感，我们是讨厌别人期待我们去理解我们并不理解的东西，我们是讨厌达不到别人的期待让我们感觉自己不够好，我们是讨厌错误让我们感觉自己很愚蠢。然而所有的这些对数学的厌恶情绪带给我们的是学习数学时的紧张感和恐惧感，这就好比我们在学习游泳，但因为紧张和恐惧，全身肌肉紧绷，双手紧握，我们知道在这种状态下即使我们有着丰富的游泳知识也是无法游泳的；当我们恐惧数学时，我们的大脑就像泳池中蜷缩在一起的身体，即使背再多的公式，他也无法学会真正地解决数学问题，这时首先要做的是让自己放松，舒展开思维，和数学建立亲密的关系。

后面的十章讲解就是试图给你更好的数学学习体验，帮助你和数学建立更为亲密的关系，更进一步，希望通过我的讲解，让你擅长数学。我们常常不是因为天生喜欢做一件事，而擅长它的，更多数的情况是，我们是先擅长一件事，才慢慢喜欢上它的，比如说可能你一开始不喜欢弹吉他，后来因为你报了个班，不得不去学，不知不觉中掌握了很多弹吉他的技巧，身边的朋友也喜欢你的弹奏，可能慢慢地你就变得喜欢弹吉他了。所以对患有数学恐惧症的学生而言，最好不要先去挑战难题，而是从简单题目开始做起，或者从基础知识开始学起，如果微积分太难，就先去学习函数，如果函数对你来说还是有些难，就先把方程的知识打牢，总可以摸到一个自己能够理解的底，那么就从这个底开始学起。我们只有去做自己能够理解的事，才能够擅长，只有擅长才有可能喜欢，只有喜欢才能长久地去做它。成就感是重要的，没有人可以长久地做好他不理解和不擅长的事。

我在高中时患有重度的数学恐惧症，一想到下一节课是数学课就感到非常的焦虑。当时我总是跟不上数学老师的讲课进度，越是跟不上老师的讲课进度，我就越焦虑，越焦虑，就越听不进去课。直到这种模式走到了极致，我完全做不下去数学题目了，这让我不得不停下来反省造成我数学恐惧症的原因，是不是一定要跟上老师的授课进度，要知道当时班级70多人，每个学生的基础都不同，理解的快慢也不同，老师的讲课进步不一定适合每一个学生，至少不适合我，那么就诚实地承认这个事实，同时不要因此感到惭愧。后来我和老师沟通后，老师同意我可以选择性地做她布置的试卷，我可以按照自己的学习计划进行一段时间，这时我的心情才真正放松下来，毕竟数学考试有70%的简单题目，我先把这一部分拿下再说。慢慢地我从这些简单的题目中找到了学习数学的自信和热情，在那年的期末考试中我是全年级为数不多的数学150分获得者。

如果你现在是数学恐惧症患者，但文科很好，比如喜欢写诗歌和散文，喜欢历史和哲学，那么你未来有可能成为最棒的数学老师。这是基于我对数学老师这个行业的长期观察下得出的结论：最好的数学老师往往是那些学生时代经历过严重的数学恐惧症，且擅长文科的人。经历过数学恐惧症的老师对学生在学习数学中遇到的困难就会充满同情和理解，在讲授数学时就会从听者容易理解的角度出发，运用类比、故事、图像等手段让数学知识生动有趣起来；因为对数学恐惧症感同身受，所以他不仅告诉学生怎样解题，而且会向学生解释这么做的原因，切实解决学生在学习数学过程中的痛点。而数学老师擅长文科说明他有着高超的语言能力和丰富的联想能力，能够将数学像故事一样娓娓道来，能够将数学生动有趣地传递给学生。赢得澳大利亚英雄称号和全球top10最佳教师奖项的澳大利亚数学教师Eddie Woo在高中时非常厌恶数学，但喜欢文学和历史；美国数学方法类畅销书作家Barbara Oakley在初高中时经历了严重的数学恐惧症，但人文学科非常棒，他们在大学时都踏上了疗愈数学恐惧症之旅，并成功疗愈了自己，难能可贵的是他们还把自己找到的解药分享给更多的人，Eddie Woo成为了一名高中数学教师，Barbara Oakley则在一所大学的工程系任教。他们的课都深受学生欢迎，Eddie Woo把他的数学课录制下来上传到网上，每天世界各地成千上万的学生都在观看，评论里提到最多的就是“多么希望他是自己的数学老师！”，可以说他和可汗学院一样以一己之力改变了英语国家数学教育的格局；Barbara Oakley的《A mind for numbers》在美国学生中间也是家喻户晓的数学学习方法类必读书籍。所以全世界最受学生欢迎的数学教师不是数学天才，反而是那些早年深受数学困扰的所谓数学差生。痛恨数学并不是坏现象，热爱的反义词不是痛恨，是冷漠和逃避，痛恨是一股强大的能量，如果你能够把种痛恨的能量翻转过来就是非常好的事情。Eddie Woo和Barbara Oakley做到了，我们也可以做到。

《如何成为学习高手》

作者：林泰峰

出版社：哈尔滨工业出版社

（高中生适用）

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内容简介：本书内容分为学习方法编和数学讲解编。学习方法编主要内容是利用国外教育的优势点和作者自己的学习和教学心得来解决国内学生的学习困惑，启迪家长和学生对教育的思考；数学讲解编主要是优化高中数学知识体系，将高中数学基础知识点以故事、类比、图像等方式重新叙述，目的是提高学生的数学直觉，让学生能够亲近数学。数学讲解编另一个目的是为高中数学和大学数学在内容和表述风格上更好地衔接做出一些尝试。

作者简介：林泰峰，出生于1985年，本科毕业于吉林大学数学专业，硕士毕业于新加坡国立大学统计专业。从事国际高中数学教育八年，学生遍布世界名校。

在教学过程中，总结出一套先进的学习方法和教学方法，帮助学生提升学习能力和分数。平时涉猎广泛：美国特许金融分析师一级，心理咨询师助手，陈氏小架太极拳习练者，学校极限飞盘队教练。在每一个领域，都试图探索优化的途径，使其比当初遇见它的时候更加美好。

目录：（上下滑动查看）

第1编 学习方法
第1章 吃透知识点有妙招
§1 内化为自己的语言
§2 提出疑问法
§3 归纳和总结
§4 多途径获取信息
第2章 一招制胜的秘诀：讲一讲
§1讲 给别人听帮助理解
§2 费曼技巧
§3 教学相长背后的逻辑
§4 学习小组益处多
§5 对家庭教育的启示
第3章 考试超常发挥有窍门
§1 考试心态
§2 考试策略
§3 考试技巧
第4章 学霸的五个学习认知
第5章 学习有通法：国际象棋、太极拳和绘画带来的启示
§1 隔离单练法：国际象棋大师的训练秘诀
§2 把原则练到身上去：太极拳画圆
§3 搭建脚手架：看到绘画背后的铅笔痕迹
第6章 教室外的学习：回想、散步、发呆和学习场
§1 回想学习法
§2 散步学习法
§3 神圣的发呆
§4 创造学习场
第7章 自学的正确打开方式：CFA、雅思和公众演讲
§1 阻力小的精进
§2 15分钟的奇迹
§3 刻意练习
第8章 写一写：记笔记、思维地图和文章作法
§1 记笔记
§2 思维地图
§6 文章作法
第9章 英语学习方法
§1 大脑的语言自学习
§2 一招学好英语
§3 口语的自我表达
§4 隐性学习和显性学习
§5 听力的流
§6 朗读的松
§7 英语语法的体系化和简化学习
§8 回音法
§9 英语语音的流畅性原则
第10章 数学学习方法
§1 理解知识点
§2 直觉、直觉、直觉
§3 提升数学直觉的方法
§4 积累解题技巧
§5 构建积极的数学心态
§6 学会与错误共处
§7 数学恐惧症

第2编 数学讲解
第1章 玩具例子法图像变换和椭圆方程
§1 f（ax 6） c图像的变换
§2 椭圆方程
§3 圆锥曲线的灵魂——离心率
第2章 值法双曲线、多项式函数和有理函数
§1 双曲线方程
§2 多项式函数的图像
§3 有理函数的图像
第3章 故事法指数和对数函数
§1 指数函数
§2 自然对数底e
§3 e的实际应用
§4 2x和10x与ex的关系
§5 对数函数
§6 自然对数函数Inx
§7 对数函数的实际运用
……
第4章 数形结合法单位圆与三角函数
第5章 配对思想数列求和
第6章 积化和差思想向量
第7章 同构法排列组合、二项式展开和二项概率
第8章 绘图法条件概率和贝叶斯法则
第9章 对比法复数
第10章 常识思维微积分